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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Permutationsmatrix
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Permutationsmatrix: LU-Zerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Do 05.01.2006
Autor: revival

Hi!

Wir haben vor Weihnachten in LA über LU-Zerlegung gesprochen.
Dabei wurde unter anderem am Rande erwähnt, dass für

A  [mm] \in K^{n x n} [/mm] eine Permutationsmatrix P existiert, so dass PA eine LU-Zerlegung PA=LU hat (L ist invertierbar)

Leider haben wir das nie bewiesen. Ich wiederhole gerade den bisherigen Stoff und bin dabei darüber gestolpert.
Es wäre klasse, wenn mir jmd. einen Tipp geben könnte, wie man so etwas beweisen könnte, oder mich auf eine entsprechende Seite mit dem Beweis verweist.

Meine erste Überlegung war für

PA = LU, B = PA zu setzen
=> B = LU. Das wäre wahr - B besäße tatsächlich eine LU-Zerlegung - falls B sich durch elem. Zeilentransf. ohne Zeilenvertauschung auf obere Dreiecksmatrix transformieren ließe, richtig?
Für P gilt, dass das Inverse gleich dem Transponierten ist, also ist P auf jd. Fall invertierbar. Wenn jetzt auch A eine LU-Zerlegung besitzt, dann also auch B..

Scheint mir leider ungenau..

Würde mich über jede Hilfe von euch sehr freuen!

Vielen Dank im Voraus,

revival.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Permutationsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Do 05.01.2006
Autor: mathiash

Hallo,

stell Dir vor, Du moechtest im Stile eines Gauss-Verfahrens eine LU-Zerlegung berechnen, dann bist Du hin und wieder gezwungen, von der verbleibenden Restmatrix
Zeilen zu vertauschen, und dies laesst sich durch eine ''elementare Permutationsmatrix''
(heisst das so ?) beschreiben. Das Produkt all dieser ist dann P. (So in etwa, oder ?)

Gruss,

Mathias
Bezug
                
Bezug
Permutationsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Do 05.01.2006
Autor: revival

"Das Produkt all dieser"? Meinst du damit aller Schritt für Schritt notwendigen Zeilenvertauschungen?
Bezug
                        
Bezug
Permutationsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Sa 07.01.2006
Autor: Christian

Hallo.

> "Das Produkt all dieser"? Meinst du damit aller Schritt für
> Schritt notwendigen Zeilenvertauschungen?

[daumenhoch] Genau die sind gemeint!

Gruß,
Christian


Bezug
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