Permutationsmatrizen u. ä. < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 02.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal eine Frage zu Permutationsmatrizen.
Ich soll beweisen, dass die [mm] N_{lk} (\alpha [/mm] _{k}) für festes k kommutativ sind. (Also in Worten, weil das Formeln wohl etwas umständlich wird,: multipliziere ich zwei Matrizen, bei denen auf der Diagonalen überall Einsen stehen, in einer festen Spalte (also bei beiden Matrizen in derselben Spalte, aber in unterschiedlicher Zeile) nur ein Eintrag [mm] \alpha [/mm] _{k} [mm] \not= [/mm] 0 und sonst nur Nullen sind, so ist diese Multiplikation kommutativ.
Ich habe das letztendlich so gelöst:
Ich kann die Permutationsmatrizen schreiben als Summe der Einheitsmatrix I und einer Matrix, bei der überall Nullen stehen, außer an Stelle lk. Nun habe ich ein Produkt von zwei Summen und kann das Distributivgesetz anwenden.
Ich erhalte:
[mm] I^2+I*(Matrix [/mm] mit Eintrag [mm] lk\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)+(Matrix mit Eintrag [mm] l^~k\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)+(Matrix mit Eintrag [mm] lk\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)*(Matrix mit Eintrag [mm] l^~k\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)
=I+(Matrix mit Eintrag [mm] lk\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)+(Matrix mit Eintrag [mm] l^~k\not= [/mm] 0 und alle anderen =0)
=(Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und zwei Einträgen [mm] \not=0, [/mm] alles andere =0)
wobei natürlich genau die Einträge, die bei den Permutationsmatrizen [mm] \not=0 [/mm] waren hier wieder [mm] \not=0 [/mm] sind.
Wenn ich nun die Eingaben vertausche, erhalte ich dasselbe.
Kann man das so machen, oder ist das zu einfach?
Und wie beschreibe ich am besten die Matrizen, die nur aus dem Eintrag [mm] \alpha [/mm] _{k} und sonst Nullen bestehen? Soll ich die einfach einmal definieren?
Wöre schön, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig ist, und wenn nicht, einen anderen Ansatz geben könnte!
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 02.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich soll dann weiter noch beweisen, dass das Produkt aller dieser Permutationsmatrizen sowie ihr Inverses von der Form einer Frobenius-Matrix sind, also auf der Diagonalen Einsen und die Spalte k besitzt die Einträge der Permutationsmatrizen.
Das habe ich wiederum mit meiner Zerlegung der Permutationsmatrix in die Einheitsmatrix + die Matrix mit "fast nur Nullen" gemacht. Geht das so? Und wie schreibe ich das am besten auf?
Übrigens fehlt mir bei dem Inversen noch der Ansatz, oder soll ich einfach die Frobeniusmatrizen mit der Inversen (die auf dem Blatt angegeben ist) multiplizieren, und aus der Eindeutigkeit der Inversen folgt dann, dass sie so aussehen muss?
Wäre schön, wenn mir jemand antwortet.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
> Ich soll dann weiter noch beweisen, dass das Produkt aller
> dieser Permutationsmatrizen sowie ihr Inverses von der Form
> einer Frobenius-Matrix sind, also auf der Diagonalen Einsen
> und die Spalte k besitzt die Einträge der
> Permutationsmatrizen.
> Das habe ich wiederum mit meiner Zerlegung der
> Permutationsmatrix in die Einheitsmatrix + die Matrix mit
> "fast nur Nullen" gemacht. Geht das so? Und wie schreibe
> ich das am besten auf?
Das geht so. Du musst halt nur überlegen/zeigen das das Produkt aus 2 Matrizen die in einer Spalte(k) Elemente ungleich 0 haben können außer in der k-ten Zeile eine Nullmatrix ist. Die Matrizen kannst Du ja durchnummerieren [mm] (A_k)
[/mm]
> Übrigens fehlt mir bei dem Inversen noch der Ansatz, oder
> soll ich einfach die Frobeniusmatrizen mit der Inversen
> (die auf dem Blatt angegeben ist) multiplizieren, und aus
> der Eindeutigkeit der Inversen folgt dann, dass sie so
> aussehen muss?
Wie sieht denn die Inverse einer solchen Matrix aus?
Wie kommt man von einem Produkt von Matrizen(von denen man die Inversen kennt) zur Inversen des Produkts?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
klingt richtig. Der Knackpunkt ist halt nur das die beiden Matrizen mit einem Eintrag multipliziert 0 ergeben.
zur Schreibweise:
Da würd ich mich an der Vorlesung orientieren. Wie habt ihr da Matrizen mit bestimmten einträgen geschrieben?
möglich wäre z.B.
[mm] A \in R^{nxn}[/mm]
[mm] a_{ij}=\left\{\begin{matrix}
\alpha, & \mbox{wenn } i=k,j=l \\
0, & \mbox{sonst }\end{matrix}\right. [/mm]
gruß
mathemaduenn
|
|
|
|
