Personenverteilung am Tisch < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wenn 11 Personen, darunter die Damen A, B, C und D, sich zufällig auf elf (a) in der Reihe, (b) um einen runden Tisch angeordnete Stühle setzten, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass A neben B, aber nicht C neben D sitzt? |
Kann mir das bitte jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 22.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich erkläre mal Teil a) mit 9 Personen. Es gibt 9! Möglichkeiten, die 9 Personen auf die (numerierten) Sitze zu verteilen. Zunächst überlege ich mir, wieviele Möglichkeiten es gibt, bei denen A und B nebeneinander auf den ersten beiden Stühlen sitzen. Die anderen 7 werden beliebig auf die 7 Stühle mit Nummern 3-9 verteilt. Dafür gibt es 7! Möglichkeiten. Dann hat man unabhängig davon 2! Möglichkeiten A und B zu setzen, nämlich AB oder BA. Insgsamt gibt es also [mm] 2!\cdot [/mm] 7! Möglichkeiten, dass A und B auf den ersten beiden Stühlen nebeneinander sitzen. Im allgemeinen sitzen links von A und B 0-7 Personen und alle diese Anordnungen sind verschieden. Es gibt also [mm] 8\cdot 2!\cdot [/mm] 7! Möglichkeiten, dass A und B nebeneinander sitzen. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, ist nur noch durch 9! zu teilen:
[mm] \frac{2!7!}{9!}\binom{8}{1} =\frac{2}{9}
[/mm]
Dasselbe gilt für C und D. Nun gilt allgemein die Formel
[mm] P(M\backslash N)=P(M)+P(N)-P(M\cap [/mm] N),
falls P(M) die Wahrscheinlichkeit des Ereignis $M$ bedeutet. Wir müssen also nur noch ausrechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit beide Paare nebeneinander sitzen, d.h. den Subtrahenten [mm] P(M\cap [/mm] N) in der Formel. Die Überlegung dazu ist analog (etwas schwieriger) und liefert als Wahscheinlichkeit:
[mm] \frac{2!2!5!}{9!}\binom{7}{2}=\frac{1}{36}.
[/mm]
Setzt man in die Formel ein, so ist die Wahscheinlichkeit dafür, dass A und B aber nicht C und D nebeinander sitzen gleich
[mm] \frac{2}{9}+\frac{2}{9}-\frac{1}{36}=\frac{8+8-1}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.
[/mm]
Für 11 Personen sollte alles genauso laufen. Teil (b) sollte nicht viel schwieriger als (a) sein. Ich kann mich übrigens ganz gut verrechnet haben, denn ich habe immer etwas Mühe mit solchen Aufgaben.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 22.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
noch ein Nachtrag: Meine Überlegungen, um auf [mm] \frac{2}{9} [/mm] und [mm] \frac{2}{9\cdot 8} [/mm] zu kommen, sind etwas zu kompliziert. Wie es einfacher gehen könnte , siehst Du diesen Brüchenfast an:) Binde dazu die Stühle der Damen einfach mit Klebeband zusammen.
Volker
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Das hilft mir sehr weiter. Ist es denn in der Antwort egal ob C und D nebeneinander oder gerade nicht nebeneinander sitzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 22.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Krissy!
Nein, das ist nicht egal. Es taucht als der zweite [mm] \frac{2}{9} [/mm] Summand in der Formel auf. Aber dies berechnet sich für C und D halt aus Symmetriegründen genauso wie für A und B. In der Formel ist M das Ereignis, dass A und B nebeneinander sitzen, während $M$ das Ereignis ist, dass C und D nebeneinander sitzen. Beide haben Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{2}{9}. [/mm]
Volker
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Sorry, aber ich verstehe das immer noch nicht. C und D sollen doch nicht nebeneinander sitzen. Da ja A und B schon eine Wahrscheinlichkeit zugeteilt wurde, muss ich die doch bei C und D irgendwie ( [mm] \vektor{9\\1} [/mm] * [mm] \vektor{8\\1} [/mm] Möglichkeiten, dass C und D nebeneinander sitzen und davon das Komplement????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 22.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Ich verstehe Deinen Satzbau nicht. Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 So 22.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Krissy,
ich sehe gerade, dass meine Formel Blödsinn ist. Sie muß lauten:
[mm] P(M\backslash N)=P(M)-P(M\cap [/mm] N)
Vielleicht löst das Dein Problem. Das Ergebnis ist dann [mm] \frac{2}{9}-\frac{1}{36}=\frac{7}{36}.
[/mm]
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Mo 23.04.2007 | | Autor: | DirkG |
Bei$ [mm] P(M\cap [/mm] N)$ bin ich anderer Meinung:
Ich gehe auch mal von den 9! Anordnungsmöglichkeiten aus. Für [mm] $M\cap [/mm] N$ müssen AB einerseits sowie CD andererseits nebeneinander stehen, gewissermaßen also als Block. Die anderen 5 Damen bilden jeweils einen Einerblock. Für diese 7 Blöcke gibt es 7! Permutationen, wegen der Vertauschungsmöglichkeiten AB,BA sowie CD,CD ergibt das insgesamt
[mm] $$P(M\cap [/mm] N) = [mm] \frac{2^2\cdot 7!}{9!} [/mm] = [mm] \frac{1}{18}$$ [/mm] .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Dirk,
ich ändere mal einfach meine Meinung und schließe mich Dir an.
Volker
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