matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungen(Phasen-)Fluss einer DGL
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentialgleichungen" - (Phasen-)Fluss einer DGL
(Phasen-)Fluss einer DGL < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

(Phasen-)Fluss einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 21.04.2011
Autor: path

Aufgabe
Def.: Das Vektorfeld f: U [mm] \to \IR^{n} [/mm] auf der offenen Menge U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] sei lokal Lipschitz-stetig. Wir betrachten die DGL [mm] \dot{x}=f(x). [/mm]
1. Existiert für alle [mm] x_{0} \in [/mm] U eine Lösung [mm] \phi_{x_{0}}: \IR \to [/mm] U des AWP [mm] \dot{x}=f(x), x(0)=x_{0}, [/mm] dann heißt die Abbildung [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IR [/mm] x U [mm] \to [/mm] U , (t,x) [mm] \mapsto \phi_{x}(t) [/mm] Phasenfluss der DGL.
2. Das Bild [mm] \phi(I) \subseteq [/mm] U einer Lösungskurve [mm] \phi [/mm] : I [mm] \to [/mm] U der DGL heißt Orbit . Für x [mm] \in [/mm] U heißt [mm] O(x):=\Phi(\IR,x) [/mm] Orbit durch x.



Hallo Matheraum!
Meine allererste Frage:

Ich habe demnächst eine Klausur in gewöhnlichen DGL, und habe mir im Vorfeld im Internet ein paar Videos angeschaut, wie DGL praktisch gelöst werden.
Wenn ich mir aber unser Skript anschaue, verstehe ich leider nur Bahnhof.
Vor allem unter den Definitionen von Phasenfluss und Orbit kann ich mir nichts vorstellen. Ich hoffe, jemand könnte das anschaulich erklären.

Vielen Dank schonmal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
(Phasen-)Fluss einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Fr 22.04.2011
Autor: rainerS

Hallo!

Erstmal herzlich [willkommenmr]

> Def.: Das Vektorfeld f: U [mm]\to \IR^{n}[/mm] auf der offenen Menge
> U [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] sei lokal Lipschitz-stetig. Wir
> betrachten die DGL [mm]\dot{x}=f(x).[/mm]
>  1. Existiert für alle [mm]x_{0} \in[/mm] U eine Lösung
> [mm]\phi_{x_{0}}: \IR \to[/mm] U des AWP [mm]\dot{x}=f(x), x(0)=x_{0},[/mm]
> dann heißt die Abbildung [mm]\Phi[/mm] : [mm]\IR[/mm] x U [mm]\to[/mm] U , (t,x)
> [mm]\mapsto \phi_{x}(t)[/mm] Phasenfluss der DGL.
>  2. Das Bild [mm]\phi(I) \subseteq[/mm] U einer Lösungskurve [mm]\phi[/mm] :
> I [mm]\to[/mm] U der DGL heißt Orbit . Für x [mm]\in[/mm] U heißt
> [mm]O(x):=\Phi(\IR,x)[/mm] Orbit durch x.
>  
>
> Hallo Matheraum!
>  Meine allererste Frage:
>  
> Ich habe demnächst eine Klausur in gewöhnlichen DGL, und
> habe mir im Vorfeld im Internet ein paar Videos angeschaut,
> wie DGL praktisch gelöst werden.
>  Wenn ich mir aber unser Skript anschaue, verstehe ich
> leider nur Bahnhof.
>  Vor allem unter den Definitionen von Phasenfluss und Orbit
> kann ich mir nichts vorstellen. Ich hoffe, jemand könnte
> das anschaulich erklären.

Da gibt es eine einfache physikalische Bedeutung; die mathematische Beschreibung ist deren Abstraktion.

Nehmen wir mal an, die gegebene DGL beschreibt die Bewegung einer Masse unter dem Einfluss (konvervativer) Kräfte. Wenn ist den Ort [mm] $x_0$ [/mm] der Masse zum Zeitpunkt $t=0$ kenne, so gibt mir die Lösung der DGL den Ort zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Die Lösung [mm]\phi_{x_{0}}[/mm] zum Anfangswert [mm] $x_0$ [/mm] definiert die Bahnkurve der Masse im Raum.

Sei jetzt die Masse zu irgendeinem Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] am Punkt x der Bahn, also [mm] $\phi_{x_{0}}(t_0) [/mm] = x$. Wenn die Zeit t vergangen ist, wird sie am Ort [mm] $y=\phi_{x_{0}}(t_0+t)$ [/mm] sein. Unter den Voraussetzungen an die Funktion f gibt es nun eine Abbildung, den Phasenfluss [mm] $\Phi$ [/mm] mit [mm] $y=\Phi(t,x)$. [/mm] Beachte, dass hier der Anfangswert [mm] $x_0$ [/mm] nicht mehr vorkommt; diese Abbildung beschreibt also alle Lösungen auf einmal, unabhängig vom Anfangswert: Es ist [mm] $\phi_{x_{0}}(t) [/mm] = [mm] \Phi(t,x_0)$ [/mm] .

Der Phasenfluss sagt mir also, wo sich die Masse in der Zukunft befinden wird (oder in der Vergangenheit befunden hat), wenn ich nur einen einzigen Bahnpunkt habe. Daher ist die Menge der Punkte [mm] $\{\Phi(t,x)\mid t\in\IR, \text{ x fest}\}$ [/mm] gerade die gesamte Bahnkurve, die durch x geht, und diese ist eindeutig durch x bestimmt. Daher der Name Orbit.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
(Phasen-)Fluss einer DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Fr 22.04.2011
Autor: path

Ist ja eigentlich echt einleuchtend, so wie du das erklärt hast, aber als ich mir die Definition daheim angeschaut hab, bin ich nicht drauf gekommen. Hab auch vorher im Internet keine so anschauliche Erklärung gefunden.

Vielen Dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]