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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 19.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Picardsche Iteration für die AWA y'(x)=f(x,y) , y(0)=0
auf dem Intervall [0, [mm] \epsilon] \fa_{\epsilon \in (0,1]} [/mm] nicht konvergiert, wobei
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0 , x=0 , -\infty |
Guten Abend zusammen,
beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe.
Allgemein gilt bei der Picard-Iteration:
[mm] y_{n+1} [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{x}{f(s,y_n(s)) ds}
[/mm]
aber ich habe ein problem mit der schreibweise von f(x,y)
weiß nicht wie ich das ins integral packen soll!
kann mir dabei jemand einen tipp geben? Oder kann man das sogar anders machen?
gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du schreibst die Variante von f(x) ins Integral, die in Abhängigkeit von y gerade gilt. Du kennst ja [mm] $y_n$ [/mm] zu dem Zeitpunkt, zu dem Du integrierst. Je nachdem, wie das ausschaut, weißt Du dann auch, was f ist.
Im schlimmsten Fall mußt Du das Intervall, über das Du integrierst, halt in Bereiche aufteilen, wo gerade die eine oder die andere Definition von f gilt (sieht für mich hier nicht danach aus, [mm] $y_{n+1}$ [/mm] springt immer zwischen 2 Versionen hin und her, die beide auf dem ganzen Intervall gelten).
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 20.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke schonmal für die Erklärung aber ich komme damit leider immer noch nicht zurecht
Verstehe noch nicht so Recht was du mit:
"Du schreibst die Variante von f(x) ins Integral, die in Abhängigkeit von y gerade gilt" meinst.
wollte grade anfangen bei
[mm] y_1(x)= y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{x}{f(s,y_1(s)) ds}
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht ob ich dann jeweils
[mm] y_1(x)= [/mm] 0+ [mm] \integral_{0}^{x}{0 ds} [/mm] für x=0 schreiben muss und danach dann
[mm] y_1(x)= [/mm] 0+ [mm] \integral_{0}^{x}{2s ds} [/mm] für [mm] 0
ich glaube nicht dass man das so "umständlich" machen muss aber ich sehe da auch noch keinen anderen weg...
kann mir vllt nochmal jemand auf die sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du mußt x=0 nicht separat betrachten, alles entscheidende passiert auf [mm] $(0,\varepsilon]$
[/mm]
Das:
>$ [mm] y_1(x)= [/mm] $ 0+ $ [mm] \integral_{0}^{x}{2s ds} [/mm] $
ist also die wichtige Sache. Wenn Du das mal für [mm] $y_2$, $y_3$ [/mm] usw. machst, dann siehst Du, daß der Algorithmus oszilliert.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 20.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke nochmal!
hab jetzt folgendermaßen weitergemacht:
[mm] y_1(s)= [/mm] 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{2s ds} [/mm] = [mm] s^2
[/mm]
[mm] y_2(s)= [/mm] 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{2s * y_1(s) ds}= [/mm] 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{2s* s^2 ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{s^3 ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}s^4
[/mm]
[mm] y_3(s)=0 +\integral_{0}^{x}{2s*s^2*\bruch{1}{2}s^4 ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7}s^7
[/mm]
dann hab ich folgendes betrachtet:
[mm] y_1(s)= [/mm] 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{-2s ds} [/mm] =- [mm] s^2
[/mm]
[mm] y_2(s)= [/mm] 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{-2s* (-s^2) ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}s^4 [/mm]
[mm] y_3(s)=0 +\integral_{0}^{x}{-2s*(-s^2)*\bruch{1}{2}s^4 ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7}s^7
[/mm]
also ist das ab [mm] y_3(s) [/mm] gleich der ersten funktion
jetzt betrachtet ich
[mm] y_1(s) [/mm] = 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{2s * \bruch{-4y}{s} ds}
[/mm]
wegen [mm] y_0=0 [/mm] folgt
[mm] y_1(s) [/mm] = 0 [mm] +\integral_{0}^{x}{2s ds}
[/mm]
also ist das ab jetzt auch wie die erste funktion oder nicht?
hab ich das soweit richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \integral_{0}^{x}{2s \cdot{} y_1(s) ds}= [/mm] $
wieso sollte [mm] $f(s,y_1(s))$ [/mm] bitte [mm] $2s*y_1(s)$ [/mm] sein? Den Eintrag in Deiner Tabelle für f(x,y) zeigst Du mir bitte. =)
Unter welchen Eintrag fällt denn [mm] $y_1(x)=x^2$? [/mm] Und wie sieht dann f aus?
ciao
Stefan
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Hallo,
ich versuche auch gerade die Aufgabe zu lösen und mir ist noch einiges unklar. Muss ich eine Fallunterscheidung machen? x liegt ja im Intervall (0,1], y kann also in einem der Intervalle [mm] (-\infty,0), [0,x^2] [/mm] und [mm] (x^2,\infty) [/mm] liegen.
Je nachdem wo das y liegt ändert sich ja der Integrand in der Piard-Iteration. Oder verstehe ich die Aufgabe falsch?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
keine Fallunterscheidung. Du integrierst doch über f, wenn f jetzt für verschiedene x unterschiedlich definiert ist, dann mußt Du das Integral in die Bereiche aufteilen. Aber wieso wählst Du Dir zum Start der Iteration nicht ein schön einfaches [mm] $y_0(x)=0$?
[/mm]
ciao
Stefan
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Kannst du mir bitte erklären, warum die Iteration immer zwischen 2 Werten wechselt?
Also
$ [mm] y_1(x)=0+ [/mm] $$ [mm] \integral_{0}^{x}{2s ds} [/mm] $
Dann
[mm] y_2(x)=0+ \integral_{0}^{x}f(s,y_1(s))ds
[/mm]
[mm] y_1(s) [/mm] ist ja [mm] s^2, [/mm] aber [mm] f(s,s^2)=2x(weil [/mm] y ja gar nicht vorkommt) und dann würde ich wieder [mm] x^2 [/mm] herausbekommen
(Hier gilt f(x,y)=2x)
Was mache ich falsch?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 21.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] y_1(s) [/mm] $ ist ja $ [mm] s^2, [/mm] $ aber $ [mm] f(s,s^2)=2x(weil [/mm] $ y ja gar nicht vorkommt)
3 Worte davor hast Du richtig festgestellt, daß [mm] $y=x^2$. [/mm] Wie wurde in der Zeitspanne aus "ist [mm] x^2" [/mm] bitte ein "kommt nicht vor"?
[mm] $y=x^2$, [/mm] also [mm] $0\leq y\leq x^2$, [/mm] also ist y immer noch [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $f(x,y)=2x-\frac{4y}{x}$, [/mm] also ist y immer noch [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $f(x,y)=f(x,x^2)=?$.
[/mm]
Außerdem könntet Ihr euch alle zusammen angewöhnen, die Integralgrenzen auch mal einzusetzen. Die Hälfte der s sollten x sein. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 21.11.2010 | | Autor: | Peon |
Wie der Zufall so will, habe ich die gleiche Aufgabe zu bearbeiten:
Ich bin jetzt an dem Punkt:
[mm] y_0=0
[/mm]
[mm] y_1=0+\integral_{0}^{x}{f(s,y_0(s)) ds}=\integral_{0}^{x}{2s ds}=x^2
[/mm]
[mm] y_2=\integral_{0}^{x}{f(s,y_1(s)) ds}=\integral_{0}^{x}{2s-\bruch{4s^2}{s} ds}=\integral_{0}^{x}{-2s ds}=-x^2
[/mm]
[mm] y_3=\integral_{0}^{x}{f(s,y_2(s)) ds}
[/mm]
und hier ist jetzt das Problem, das ich nicht sicher bin, was ich für f wähle. Es gilt ja zunächst [mm] y=-x^2, [/mm] aber wie kann ich un sehen in welchem INtervall sich das y befindet?
EDIT:
Mir ist gerade etwas aufgefallen, liegt y nun im Intervall [mm] (-\infty,0), [/mm] weil y ja negativ sein muss...
Daraus ergibt sich:
[mm] y_3=\integral_{0}^{x}{f(s,y_2(s)) ds}=y_3=\integral_{0}^{x}{2s ds}=x^2=y_1
[/mm]
Also springe ich immer zwischen f(x,y)=2x für [mm] y_{ungerade} [/mm] und [mm] f(x,y)=2x-\bruch{4y}{x} [/mm] für [mm] y_{gerade}?[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 21.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das ist richtig. Oder für die Reihe [mm] $y_n$ [/mm] springst Du immer zwischen [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $-x^2$, [/mm] d.h. sie konvergiert nicht.
ciao
Stefan
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Hallo,
ich versuche mich auch gerade an der gleichen Aufgabe und verstehe eine Sache nicht so ganz..
> Ich bin jetzt an dem Punkt:
>
> [mm]y_0=0[/mm]
>
> [mm]y_1=0+\integral_{0}^{x}{f(s,y_0(s)) ds}=\integral_{0}^{x}{2s ds}=x^2[/mm]
wir haben oben stehen, dass [mm] y_0 [/mm] = 0 ist, warum ist dann der Integrand [mm] f(s,y_0(s)) [/mm] = 2s ?
Ist es nicht so dass [mm] f(s,y_0(s)) [/mm] = f(s,0) = 0 ?
Edit: Frage hat sich denke ich erledigt! s ist größer 0 und somit f(s,0) = [mm] 2s-\bruch{0}{s} [/mm] = 2s. richtig?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Blech |
Richtig.
ciao
Stefan
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