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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 09.06.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit
f(x,y):= 0,25 [mm] \vektor{y^{2}-3 \\ x^{2}+3}
[/mm]
a) Zeigen Sie: f hat im Quadrat [-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1] genau einen Fixpunkt, etwa v.
b) Wählen Sie als Startpunkt [mm] z_{0}= [/mm] (0, 0). Nach wievielen Schritten der Picard–Iteration ist
eine Approximationsgenauigkeit von [mm] 10^{−3} [/mm] erreicht, d.h. geben Sie eine Schranke M an, sodass
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] M [mm] ||z_{n}-v||_{\infty} \le [/mm] 0,001
dabei ist [mm] ||(x_{1},x_{2})||=max{|x_{1}|,|x_{2}|} [/mm] |
Hallo,
Die a) habe ich komplett hinbekommen, aber habs hier mal reingeschrieben, da ich nicht weiß, ob das für die b) relevant ist.
Bei der b) komme ich nämlich überhaupt nicht weiter. ich weiß, dass
[mm] x_{n+1}=f(x_{n})
[/mm]
Das kann ich mit dem Anfangswert auch berechnen, aber dadurch kriege ich ja noch lange keine Approximation. :(
kann mir jemand mal genau erklären, wie man sowas macht. Das scheint ja nach meiner Tutorin eine Standardaufgabe zu sein und ich würde das gern verstehen.
Danke vielmals.
Gruß SolRakt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Fr 10.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f:\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] mit
> f(x,y):= 0,25 [mm]\vektor{y^{2}-3 \\ x^{2}+3}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: f hat im Quadrat [-1,1] [mm]\times[/mm] [-1,1] genau
> einen Fixpunkt, etwa v.
>
> b) Wählen Sie als Startpunkt [mm]z_{0}=[/mm] (0, 0). Nach wievielen
> Schritten der Picard–Iteration ist
> eine Approximationsgenauigkeit von [mm]10^{−3}[/mm] erreicht,
> d.h. geben Sie eine Schranke M an, sodass
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] M [mm]||z_{n}-v||_{\infty} \le[/mm] 0,001
>
> dabei ist [mm]||(x_{1},x_{2})||=max{|x_{1}|,|x_{2}|}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Die a) habe ich komplett hinbekommen, aber habs hier mal
> reingeschrieben, da ich nicht weiß, ob das für die b)
> relevant ist.
Klar ist das relevant. Wenn Du es richtig gemacht hast, solltest Du ein q [mm] \in [/mm] (0,1) bekommen haben mit:
$||f(a)-f(b)|| [mm] \le [/mm] q||a-b|| $ für alle a,b [mm] \in [/mm] [-1,1] $ [mm] \times [/mm] $ [-1,1]
>
> Bei der b) komme ich nämlich überhaupt nicht weiter. ich
> weiß, dass
>
> [mm]x_{n+1}=f(x_{n})[/mm]
Bleiben wir doch bei den Bezeichnungen in der Aufgabe:
[mm]z_{n+1}=f(z_{n})[/mm], [mm] z_0=(0,0)
[/mm]
>
> Das kann ich mit dem Anfangswert auch berechnen, aber
> dadurch kriege ich ja noch lange keine Approximation. :(
Das hattet Ihr sicher: die Fehlerabschätzung
[mm] $||z_n-v|| \le \bruch{q^n}{1-q}||z_1-z_0||$ [/mm] für jedes n
Du mußt also n so bestimmen, dass
$ [mm] 0,75*\bruch{q^n}{1-q} \le [/mm] 0,001$
ist.
FRED
>
> kann mir jemand mal genau erklären, wie man sowas macht.
> Das scheint ja nach meiner Tutorin eine Standardaufgabe zu
> sein und ich würde das gern verstehen.
>
> Danke vielmals.
>
> Gruß SolRakt
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