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Hallo,
diese Frage ergab sich für mich nach einer Klausur. Man sollte zeigen, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung auf einem bestimmten Intervall hat.
Warum reicht hierfür der Satz von Picard-Lindelöf nicht aus. Die Muster lösung sah zuerst vor, dass man mit Peano zeigt, dass eine Lösung existiert, dann mit P.-L. die Eindeutigkeit zeigt. Aber waurm sagt P.-L. nicht auch die Existenz (Übungsleiter sagen, dass würde er nicht tun)? Der Beweis basiert doch auf der Picarditeration, die als Fixpunktieration erkannt wird, sodass Banach benutzt wird. Die Picarditeration liefert doch dann aber eine Lösung, die sogar noch eindeutig ist, man benutzt doch garnicht, dass schon eine Lösung existiert.
Oder wird dies zu Anfang benutzt um einen nichtleeren Banachraum zu haben? Aber der ist doch nur [mm] (C^{0}, ||\*||_{\infty}) [/mm] und damit auch nichtleer...
Hilfe und danke,
Benevonmattheis
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> Hallo,
> diese Frage ergab sich für mich nach einer Klausur. Man
> sollte zeigen, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige
> Lösung auf einem bestimmten Intervall hat.
> Warum reicht hierfür der Satz von Picard-Lindelöf nicht
> aus. Die Muster lösung sah zuerst vor, dass man mit Peano
> zeigt, dass eine Lösung existiert, dann mit P.-L. die
> Eindeutigkeit zeigt. Aber waurm sagt P.-L. nicht auch die
> Existenz (Übungsleiter sagen, dass würde er nicht tun)? Der
> Beweis basiert doch auf der Picarditeration, die als
> Fixpunktieration erkannt wird, sodass Banach benutzt wird.
> Die Picarditeration liefert doch dann aber eine Lösung, die
> sogar noch eindeutig ist, man benutzt doch garnicht, dass
> schon eine Lösung existiert.
> Oder wird dies zu Anfang benutzt um einen nichtleeren
> Banachraum zu haben? Aber der ist doch nur [mm](C^{0}, ||\*||_{\infty})[/mm]
> und damit auch nichtleer...
> Hilfe und danke,
> Benevonmattheis
Ein bekannter Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf benutzt den Banachschen Fixpunktsatz aus, der etwas über Eindeutigkeit und Existenz aussagt. Und in der Tat sichert der Satz von Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit einer gewöhnlichen (Operator)-Differentialgleichung.
Wenn deine Übungsleiter also sowas behaupten, dass die Eindeutigkeit nicht mit Picard-Lindelöf folgt, dann sollen sie dir doch mal ein Gegenbeispiel zeigen, so dass die Lösung existiert, aber nciht eindeutig ist, obwohl alle Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.
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