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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Picard-Lindelöff
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Picard-Lindelöff: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Do 25.02.2010
Autor: Cybrina

Aufgabe
Untersuchen Sie das folgende Anfangswertproblem auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.
u'(t)=u(t)*tan(t)+cos(t), [mm] u(0)=u_0 [/mm]

Hallo. Also mich würde mal interessieren, wie ich die Aufgabe "ordentlich" löse.

f(t,u)=u*tan(t)+cos(t)
ist ja für [mm] u\in\IR [/mm] und [mm] t\in\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] stetig.
Jetzt müsste ich quasi die Lipschitz-Stetigkeit in u zeigen?!

[mm] \bruch{|f(t,u)-f(t,v)|}{|u-v|} [/mm] ergibt ungeformt |tan(t)|, d.h. es ist Lipschitz-stetig in u.
Reicht das jetzt als Begründung dafür, dass eine eindeutige Lösung existieren muss?

Danke schonmal,

        
Bezug
Picard-Lindelöff: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Fr 26.02.2010
Autor: leduart

Hallo
du solltest schon ein Intervall um 0 angeben und darin ne Lipschitzkonstante.
Gruss leduart

Bezug
        
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Picard-Lindelöff: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Fr 26.02.2010
Autor: fred97

Sei D :=  { (t,u):   [mm] t\in\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] , u [mm] \in \IR [/mm] }

Für (t,u) [mm] \in [/mm] D ist dann:

           $|f(t,u)-f(t,v)| = |tan(t)|*|u-v|$

Ist nun I ein kompaktes Teilinterval von [mm] $\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] $ so ist  $tan(t)$ auf I beschränkt.

Also genügt f auf D einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich u. Nun besagt eine Version des Existenz - und Eindeutigkeitssatzes, dass Dein AWP eine nichtfortsetzbare und eindeutig bestimmte Lösung [mm] \phi [/mm] besitzt, d.h., ist [mm] \psi [/mm] eine Lösung des AWPs, so ist [mm] \psi [/mm] Restriktion von [mm] \phi. [/mm]




P.S. Lindelöf   und nicht Lindelöff

FRED

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Picard-Lindelöff: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:30 Fr 26.02.2010
Autor: Cybrina

Könnte ich dann also als Antwort (nachdem ich Lipschitzstetigkeit etc. gezeigt habe) schreiben:

"Das AWP hat auf jedem kompakten Teilintervall [mm] I\subset(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] mit [mm] 0\in [/mm] I eine eindeutig bestimmte Lösung."

?

Und nochwas: Gilt der Satz von Picard-Lindelöf eigentlich auch verneint? Also, wenn nicht Lipschitz-stetig, dann auch entweder keine Lösung oder keine eindeutige?!

Übrigens: Ich wollte sogar erst Lindelöf schreiben, war mir dann aber nicht sicher. Da hab ich extra nochmal in mein Tafelwerk geschaut, und da stand Lindelöff. Die trauen sich was... ;)

Bezug
                        
Bezug
Picard-Lindelöff: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Fr 26.02.2010
Autor: SEcki


> "Das AWP hat auf jedem kompakten Teilintervall
> [mm]I\subset(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm] mit [mm]0\in[/mm] I eine
> eindeutig bestimmte Lösung."
>  
> ?

Ja. Aus Eindeutigkeit folgt nun aber, dass die Funktion auf [m]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/m] eine eindeutige Lösung hat. Diese muss maximal sein, da die AWP für die Randpunkte nicht defineirt ist.

> Und nochwas: Gilt der Satz von Picard-Lindelöf eigentlich
> auch verneint? Also, wenn nicht Lipschitz-stetig, dann auch
> entweder keine Lösung oder keine eindeutige?!

Es gibt []einen Existenzsatz von Peano mit schwächeren Vorraussetzungen. Die Eindeutigkeit geht dabei i.a. verloren. Ich nehme aber nicht an, dass es bei Eindeutigkeit immer Lipschitz sein muss. Weiß das jemand?

SEcki

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Picard-Lindelöff: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 02.03.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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