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Picard Lindelöf?: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Di 24.11.2015
Autor: Jule2

Aufgabe
Betrachte das folgende Anfangswertproblem
u′(t) = λ [mm] u^p(t) [/mm] + f(t),
u(0) =  [mm] u_{0} [/mm]

wobei p∈[1,∞),λ>0, [mm] u_{0} [/mm] ∈ R mit [mm] u_{0} [/mm] >0 und f ∈ C([0,T];R).
Für jede Lösung des Anfangswertproblems gelte
u(t) ≥ 0, für alle t ∈ [0,T], sowie
[mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds}< \infty [/mm]

Zeige, dass eine eindeutige Lösung auf ganz [0, T ] existiert.



Hallo liebes Forum
Meine Frage ist kann ich hier einfach P-L anwenden in der globalen Fassung oder muss ich noch etwas beachten??

Würde dann nämlich sagen das für [mm] f(t,u(t))=\lambda u^p(t) [/mm] + f(t)
f in der zweiten komponente nach Voraussetzung diff´bar ist und auf [0,T]
beschränkt und somit Lipschitz stetig ist und nach P-L dann auf [0,T]
eine eindeutige Lösung existiert!
Bin mir da aber sehr unsicher!
LG
Jule

        
Bezug
Picard Lindelöf?: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Mi 25.11.2015
Autor: Jule2

Keiner einen Tip für mich??

Bezug
        
Bezug
Picard Lindelöf?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Mi 25.11.2015
Autor: fred97

Was mich bei dieser Aufgabe wundert, ist die Vor.


      $ [mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds}< \infty [/mm] $.

Ist nämlich u eine Lösung des AWPs auf [0,T] , so ist u auf [0,T] differenzierbar ,
dort also auch stetig.

Da p [mm] \ge [/mm] 1 ist, ist [mm] u^{p-1} [/mm] auf [0,T] stetig und somit ex. das Integral  [mm] \integral_{0}^{T}{u^{p-1}(s) ds} [/mm]


Handelt es sich in dieser Aufgabe möglicherweise um einen verallgemeinerten Differenzierbarkeitsbegriff und damit auch um einen verallgemeinerten Lösungsbegriff ?

FRED

Bezug
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