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Hallo zusammen.
Ich habe kurz eine Frage bzgl. des Satzes von Picard Lindelöf:
Die Aufgabe:
Gegeben ist die DGL
[mm] x'=2*t^{2}*(x-x^{1/2})
[/mm]
für x>0.
Ist die Lösung zum Anfangswert x(0)>0 eindeutig bestimmt?
Meine Lösung:
Via Picard Lindelöf:
[mm] f(x,t)=2*t^{2}*(x-x^{1/2}) [/mm] ist stetig in x und t, da f Komposition von stetigen Funktionen.
Nun muss ich ja noch die lipschitz Stetigkeit in x zeigen.
Wie mache ich das?
In der Lösung steht:
f ist in x lipschitzstetig, da [mm] f_{x}=2*t^{2}*(1+1/x^{2}) [/mm] stetig in x ist.
Kann ich das immer so machen?!?
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Do 21.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn eine Fkt differenzierbar ist, UND die Ableitung im betrachteten Intervall beschränkt ist, also |f'|<s dann ist nach dem MWS S eine Schranke für die SehnenSteigungen und damit eine Lipschitzkonstante. Da du für PL ja die Lipschitzstetigkeit in einer umgebung von x brauchst, ist differenzierbar in [mm] x_0 [/mm] nicht genug, aber wegen der stetigkeit hast du ja in jedem endl intervall ein S.
Gruss leduart
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Hallo leduart
Also reicht es aus, die Funktion nach x zu differenzieren und zu zeigen dass diese partielle Ableitung stetig ist??
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart
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> Also reicht es aus, die Funktion nach x zu differenzieren
> und zu zeigen dass diese partielle Ableitung stetig ist??
Ja
FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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