Picard, meromorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 28.02.2010 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | Kleiner Satz von Picard für meromorphe Funktionen:
Sei f [mm] \in M(\IC), [/mm] a,b,c [mm] \in \IC [/mm] paarweise verschieden, a,b,c [mm] \not\in f(\IC).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist konstant.
Beweis? |
[mm] M(\IC) [/mm] haben wir mit meromorph auf [mm] \IC [/mm] defniert.
Der Beweis lautet:
f [mm] \in M(\IC) \Rightarrow [/mm] f-a [mm] \in M(\IC) [/mm] und f-a ist nullstellenfrei.
[mm] \Rightarrow [/mm] g:= [mm] \bruch{1}{f-a} [/mm] ist holomorph auf [mm] \IC.
[/mm]
usw.
Meine Frage zum Beweis ist nun:
Warum ist g holomorph auf [mm] \IC? [/mm] Was passiert, wenn f eine Polstelle hat?
Ich habe diese Frage in keinem weitern Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kleiner Satz von Picard für meromorphe Funktionen:
> Sei f [mm]\in M(\IC),[/mm] a,b,c [mm]\in \IC[/mm] paarweise verschieden,
> a,b,c [mm]\not\in f(\IC).[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist konstant.
> Beweis?
>
> [mm]M(\IC)[/mm] haben wir mit meromorph auf [mm]\IC[/mm] defniert.
>
> Der Beweis lautet:
> f [mm]\in M(\IC) \Rightarrow[/mm] f-a [mm]\in M(\IC)[/mm] und f-a ist
> nullstellenfrei.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g:= [mm]\bruch{1}{f-a}[/mm] ist holomorph auf [mm]\IC.[/mm]
> usw.
>
> Meine Frage zum Beweis ist nun:
> Warum ist g holomorph auf [mm]\IC?[/mm] Was passiert, wenn f eine
> Polstelle hat?
Wenn $f(z)$ in [mm] $z_0$ [/mm] keine Polstelle hat, dann ist [mm] $\frac{1}{f(z) - a}$ [/mm] in [mm] $z_0$ [/mm] definiert.
Wenn $f(z)$ in [mm] $z_0$ [/mm] eine Polstelle hat, dann hat auch $f(z) - a$ in [mm] $z_0$ [/mm] eine Polstelle, womit [mm] $\frac{1}{f(z) - a}$ [/mm] in [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle hat.
Meromorph heisst ja, dass es zu jedem Punkt [mm] $z_0$ [/mm] eine Umgebung $U$ von [mm] $z_0$ [/mm] gibt, in der entweder $f$ oder [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] holomorph ist. Wenn [mm] $f(z_0) \neq [/mm] 0$ und keine Polstelle ist, dann ist [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] auf $U$ holomorph (das ist der erste Fall), und falls es eine Polstelle hat muss [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] holomorph sein (das ist der zweite Fall).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 28.02.2010 | | Autor: | Stern123 |
Also so ganz habe ich das nicht verstanden, aber ich glaube meine Frage wurde auch etwas falsch interpretiert.
Ich versuche mein Problem an einem Beispiel zu erläutern:
Ist beispielsweise g(z) = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{z} - a}.
[/mm]
Dann hat f einen Pol bei 0.
Für z = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] würde der Nenner von g jetzt 0 werden. Dann wäre die Funktion nicht mehr holomorph.
Was habe ich da falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 28.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist beispielsweise g(z) = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{z} - a}.[/mm]
>
> Dann hat f einen Pol bei 0.
f ist g, oder? f hat dann eine hebbare Singularität und keinen Pol.
> Für z = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] würde der Nenner von g jetzt 0
> werden. Dann wäre die Funktion nicht mehr holomorph.
Aber [m]1/g[/m].
> Was habe ich da falsch verstanden?
Mir ist nicht klar, worauf du hinauswillst.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 28.02.2010 | | Autor: | Stern123 |
Nein, beim Beispiel f(z) = [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
Also hat doch f einen Pol bei 0.
Wie kann dann die Funktion g = [mm] \bruch{1}{f-a} [/mm] auf [mm] \IC [/mm] holomorph sein, wie es der Beweis aussagt?
Für z = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ist doch g nicht holomorph auf [mm] \IC [/mm] , da der Nenner von g ja 0 werden würde, also nicht definiert ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 28.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nein, beim Beispiel f(z) = [mm]\bruch{1}{z}.[/mm]
Ach so.
> Wie kann dann die Funktion g = [mm]\bruch{1}{f-a}[/mm] auf [mm]\IC[/mm]
> holomorph sein, wie es der Beweis aussagt?
Tja, weil die Vorraussetzung [m]f(z)-a\neq 0[/m] für alle [m]z\in\IC[/m] fehlt.
> Für z = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ist doch g nicht holomorph auf [mm]\IC[/mm] ,
> da der Nenner von g ja 0 werden würde, also nicht
> definiert ?!
Ja, aber das widerspräche der Vorraussetzung komplett. Du müsstest hier 0 wählen zum abziehen, also [m]g(z)=\bruch{1}{1/z-0}=z[/m], was keinen Pol hat.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 28.02.2010 | | Autor: | Stern123 |
Ok, so einigermaßen ist es mir jetzt klar.
Danke.
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