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Pkt. u. glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mo 01.07.2013
Autor: Palindrom

Aufgabe
Sei [mm] M_{1} [/mm] = [0,1], [mm] M_{2} [/mm] = [1,2] und [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{n*x}{1 + n^{2}x^{2}}, [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Berechnen Sie die Grenzfunktion f und [mm] f_{n} [/mm] und entscheiden Sie, ob [mm] f_{n} [/mm] auf [mm] M_{1} [/mm] bzw. [mm] M_{2} [/mm] sogar gleichmäßig gegen f konvergiert.

Hallo Forum,

ich bräuchte ein paar Erklärungen zu der Vorgehensweise, wenn ich überprüfen soll, ob eine Funktionenfolge punktweise und gleichmäßig konvergent ist.

Zunächst würde ich die pkt. Konvergenz überprüfen.

[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{n*x}{1 + n^{2}x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x}{n}}{\bruch{1}{n^{2}} + x^{2}} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm]

Wenn ich also auf pkt. Konvergenz nachweisen möchte, bilde ich einfach den Grenzwert meiner Funktionenfolge und lasse n [mm] \to \infty [/mm] laufen und erhalte dann gegebenfalls meine Grenzfunktion ?

Wie gehe ich dann bei gleichmäßiger Konvergenz vor ?
Wenn ich vermute, dass es glm. konvergent ist, schätze ich den Ausdruck

[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)|

ab, um ein passendes [mm] \varepsilon [/mm] zu finden?

Wenn es dagegen nicht glm. konvergent ist, kann ich dann einfach ein spezielles [mm] x_{n} [/mm] nehmen und zeigen, dass es kein [mm] \varepsilon [/mm] gibt ?

Wäre nett, wenn mir das einer erklären könnte.

Gruß
Palindrom

        
Bezug
Pkt. u. glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mo 01.07.2013
Autor: Marcel

Hi!

> Sei [mm]M_{1}[/mm] = [0,1], [mm]M_{2}[/mm] = [1,2] und [mm]f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{n*x}{1 + n^{2}x^{2}},[/mm] x [mm]\in \IR,[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Berechnen Sie die Grenzfunktion f und [mm]f_{n}[/mm] und entscheiden
> Sie, ob [mm]f_{n}[/mm] auf [mm]M_{1}[/mm] bzw. [mm]M_{2}[/mm] sogar gleichmäßig
> gegen f konvergiert.
>  Hallo Forum,

Hallo Einer! :-)

> ich bräuchte ein paar Erklärungen zu der Vorgehensweise,
> wenn ich überprüfen soll, ob eine Funktionenfolge
> punktweise und gleichmäßig konvergent ist.
>
> Zunächst würde ich die pkt. Konvergenz überprüfen.

Das ist auch sinnvoll, denn wenn eine Funktionenfolge nicht pktw. konvergiert,
dann kann sie das auch nicht glm. tun. Übrigens ist der Kandidat für die
"glm. Grenzfunktion" ebenfalls die pktw. Grenzfunktion. Kannst Du das
begründen?

> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{n*x}{1 + n^{2}x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{x}{n}}{\bruch{1}{n^{2}} + x^{2}} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]

Das ist okay, aber ich würde es ein wenig ausführlicher begründen:

    [mm] $|f_n(x)| [/mm] = [mm] \ldots \le \frac{1}{|x|}\;\frac{1}{n^2} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm]

gilt für jedes $x > [mm] 0\,,$ [/mm] und [mm] $f_n(0)=0 \to [/mm] 0$ ist klar. Also ist im Falle von [mm] $f_n \colon M_j \to \IR$ [/mm] die
Grenzfunktion einfach [mm] $n_j \colon M_j \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $n_j(x):=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in M_j\,,$ [/mm] für [mm] $j=1,2\,.$ [/mm]
  

> Wenn ich also auf pkt. Konvergenz nachweisen möchte, bilde
> ich einfach den Grenzwert meiner Funktionenfolge und lasse
> n [mm]\to \infty[/mm] laufen und erhalte dann gegebenfalls meine
> Grenzfunktion ?

Naja, eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt halt per Definitionem pktw. konvergent
(auf [mm] $D\,$), [/mm] wenn für jedes [mm] $x\,$ ($\in [/mm] D$) gilt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ [/mm] existiert!
(Für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ existiert also ein [mm] $r=r_x \in \IR$ [/mm] so, dass für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm]
existiert, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$

    [mm] $|f_n(x)-r_x| \le \varepsilon$ [/mm]

folgt. Man definiert dann $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] durch [mm] $f(x):=r_x$ [/mm] für $x [mm] \in D\,.$) [/mm]

Die pktw. Grenzfunktion ist also - hier - die Einschränkung der Nullfunktion
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0 [mm] \in \IR$ [/mm] auf [mm] $M_j\,.$ [/mm]

> Wie gehe ich dann bei gleichmäßiger Konvergenz vor ?
> Wenn ich vermute, dass es glm. konvergent ist, schätze ich
> den Ausdruck
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)|
>
> ab, um ein passendes [mm]\varepsilon[/mm] zu finden?

Du musst dann zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein passendes [mm] $N=N_\varepsilon [/mm] > 0$ so finden, dass Du für alle [mm] $x\,$ [/mm] (in [mm] $D\,$) [/mm] folgern
kannst

    [mm] $|f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm]

Wichtig: $N [mm] \in \IN$ [/mm] darf (und wird i.a.) von [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ abhängig sein, aber es darf
keinesfalls eine Abhängigkeit zwischen [mm] $N\,$ [/mm] und [mm] $x\,$ [/mm] bestehen!

Anschaulich kann man sich das so vorstellen:
Wir haben eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)\,,$ [/mm] die pktw. konvergent ist mit [mm] $f,f_n \colon \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR\,.$ [/mm]

Zeiche (skizziere) den Graphen von (der pktw. Grenzfunktion) [mm] $f\,.$ [/mm] Betrachte für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
die Graphen von

    [mm] $f_{+\epsilon}:=f+\epsilon$ [/mm]

und

    [mm] $f_{-\epsilon}:=f-\epsilon\,.$ [/mm]

Dann muss es zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so geben, dass alle Graphen der
Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] N$ in den [mm] "$\epsilon$-Schlauch [/mm] um [mm] $f\,$ [/mm] (dieser wird nach oben
durch den Graphen von [mm] $f_{+\epsilon}$ [/mm] und nach unten durch den Graphen von [mm] $f_{-\epsilon}$ [/mm]
begrenzt) fallen.

> Wenn es dagegen nicht glm. konvergent ist, kann ich dann
> einfach ein spezielles [mm]x_{n}[/mm] nehmen und zeigen, dass es
> kein [mm]\varepsilon[/mm] gibt ?

Wie lautet denn die logische Negation von "glm. Konvergenz"? Ich schreibe
Dir mal die Überlegungen hin:
Sei [mm] $f_n \colon [/mm] D [mm] \to \IR\,.$ [/mm] Dann gilt: Ist [mm] $(f_n)_n$ [/mm] nicht pktw. konvergent, so ist
[mm] $(f_n)_n$ [/mm] sicher auch nicht glm. konvergent. Interessant wird also nur der
Fall, dass [mm] $(f_n(x))_n$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ konvergiere:
Sei [mm] $f\colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] D$). Dann gilt:
[mm] $(f_n)_n$ [/mm] konvergiert nicht glm. gegen [mm] $f\,,$ [/mm] wenn gilt:
Es gibt ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass es für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Stelle [mm] $x_0=x_{0,n} \in [/mm] D$ so gibt, dass

    [mm] $|f_m(x_0)-f(x_0)| [/mm] > [mm] \epsilon_0$ [/mm] für ein natürliches $m [mm] \ge n\,.$ [/mm]

Oft ist es aber einfacher, folgendes zu benutzen: Sei [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Funktionenfolge,
die pktw. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiere. (Wieder [mm] $f,f_n \colon [/mm] D [mm] \to \IR$). [/mm] Dann konvergiert [mm] $(f_n)_n$ [/mm] genau dann
glm. gegen [mm] $f\,,$ [/mm] wenn

    [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm]

Wie hilft Dir das?

Im Falle [mm] $D=M_1=[0,1]$ [/mm] beachte, dass [mm] $x_n:=1/n \in M_1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}\,.$ [/mm] Damit folgt

    [mm] $|f_n(x_n)-f(x_n)|=f_n(1/n)=... \le \sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in M_1\}\,.$ [/mm]

Ergänze die [mm] $...\,$ [/mm] oben und überlege Dir: Kann dann noch [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to [/mm] 0$ gelten?

Im Falle [mm] $D=M_2=[1,2]$ [/mm] gilt

    [mm] $|f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2} \le \frac{nx}{n^2}=\frac{x}{n} \le \frac{2}{n}\,,$ [/mm]

und zwar für alle $x [mm] \in [/mm] [1,2]$ (beachte, dass ich oben sowohl $x [mm] \ge [/mm] 1$ als auch $x [mm] \le [/mm] 2$
benutzt habe - wo jeweils?).

Was folgt dann für

    [mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in M_2\}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$? [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Pkt. u. glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 01.07.2013
Autor: Palindrom

Hallo Marcel,

Danke für die schnelle und ausführliche Antwort :)

Wenn wir also ein a [mm] \in \IR [/mm] haben ist z.z., dass

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(a) [/mm] = f(a)

ist. Wenn [mm] (f_{n}) [/mm] glm. konvergent ist, so gibt es ein [mm] \varepsilon \in \IR [/mm] und ein [mm] n_{0}, [/mm] sodass

[mm] ||f_{n}(x) [/mm] - f(x)|| < [mm] \varepsilon [/mm] (n [mm] \ge n_{0}) [/mm]

Das sind erstmal die Definition, die wir wissen.

Und der Betrag von [mm] f_{n}(a) [/mm] - f(a) ist kleiner/gleich [mm] ||f_{n}(x) [/mm] - f(x)||.
Woraus doch folgen würde: [mm] |f_{n}(a) [/mm] - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm]

Die glm. Konvergenz ist ja ein "stärkerer" Begriff und impliziert die pktw. Konvergenz.
Wenn ich also eine Grenzfunktion für die glm. Konvergenz gefunden habe, muss meine Funktionenfolge auch pktw. gegen diese konvergieren.

Die Supremumsnorm

[mm] \sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm]

sagt mir ja, dass für immer größer werdende n der Abstand zwischen der Funktionenfolge zur Grenzfunktion Null wird.

zu [mm] M_{1} [/mm]

Wenn [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gilt

[mm] |f_{n}(x_{n}) [/mm] - [mm] f(x_{n})| [/mm] = [mm] |\bruch{n*\bruch{1}{n}}{1 + n^{2}*\bruch{1}{n^{2}}}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Also kann nicht [mm] \sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to [/mm] 0 gelten.
Der Abstand zwischen Funktionenfolge und Grenzfunktion wird nicht Null.

zu [mm] M_{1} [/mm]

[mm] |f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2} \underbrace{\le}_{x \ge 1 } \frac{nx}{n^2}=\frac{x}{n} \underbrace{\le}_{x \ge 2 } \frac{2}{n}\, [/mm]

und [mm] \bruch{2}{n} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Pkt. u. glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Di 02.07.2013
Autor: Helbig

Hallo Palindrom,


> Wenn wir also ein a [mm]\in \IR[/mm] haben ist z.z., dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(a)[/mm] = f(a)
>
> ist. Wenn [mm](f_{n})[/mm] glm. konvergent ist, so gibt es ein
> [mm]\varepsilon \in \IR[/mm] und ein [mm]n_{0},[/mm] sodass
>  
> [mm]||f_{n}(x)[/mm] - f(x)|| < [mm]\varepsilon[/mm] (n [mm]\ge n_{0})[/mm]
>  
> Das sind erstmal die Definition, die wir wissen.

Knapp daneben. Es muß heißen "Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$" und nicht "Es gibt ein [mm] $\varepsilon\in\IR$"! [/mm]

Und dann ist die Supremumsnorm für Funktionen und nicht für reelle Zahlen definiert! Es muß also [mm] $\|f_n-f\|$ [/mm] und nicht [mm] $\|f_n(x)-f(x)\|$ [/mm] heißen.


>
> Und der Betrag von [mm]f_{n}(a)[/mm] - f(a) ist kleiner/gleich
> [mm]||f_{n}(x)[/mm] - f(x)||.
>  Woraus doch folgen würde: [mm]|f_{n}(a)[/mm] - f(a)| <
> [mm]\varepsilon[/mm]

Wieso "würde". Dies folgt einfach "würdelos".

>  
> Die glm. Konvergenz ist ja ein "stärkerer" Begriff und
> impliziert die pktw. Konvergenz.
> Wenn ich also eine Grenzfunktion für die glm. Konvergenz
> gefunden habe, muss meine Funktionenfolge auch pktw. gegen
> diese konvergieren.
>
> Die Supremumsnorm
>
> [mm]\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>  
> sagt mir ja, dass für immer größer werdende n der
> Abstand zwischen der Funktionenfolge zur Grenzfunktion Null
> wird.

Mir sagt das dagegen gar nichts! Was ist der "Abstand einer Funktionenfolge zur Grenzfunktion?" Wenn Du schon den Begriff der Konvergenz einer Folge in Worte fassen willst: Für genügend große n werden die Abstände der Folgenglieder [mm] $f_n$ [/mm] zur Grenzfunktion $f$ beliebig klein.

>
> zu [mm]M_{1}[/mm]
>  
> Wenn [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gilt
>  
> [mm]|f_{n}(x_{n})[/mm] - [mm]f(x_{n})|[/mm] = [mm]|\bruch{n*\bruch{1}{n}}{1 + n^{2}*\bruch{1}{n^{2}}}|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Also kann nicht [mm]\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to[/mm] 0
> gelten.
> Der Abstand zwischen Funktionenfolge und Grenzfunktion wird
> nicht Null.

Richtig!

>
> zu [mm]M_{1}[/mm]

Du meinst [mm] $M_2$. [/mm]

>  
> [mm]|f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2} \underbrace{\le}_{x \ge 1 } \frac{nx}{n^2}=\frac{x}{n} \underbrace{\le}_{x \ge 2 } \frac{2}{n}\,[/mm]
>  
> und [mm]\bruch{2}{n} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]

Richtig.

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                                
Bezug
Pkt. u. glm. Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Di 02.07.2013
Autor: Marcel

Hallo Wolfgang,

> Hallo Palindrom,
>  
>
> > Wenn wir also ein a [mm]\in \IR[/mm] haben ist z.z., dass
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(a)[/mm] = f(a)
> >
> > ist. Wenn [mm](f_{n})[/mm] glm. konvergent ist, so gibt es ein
> > [mm]\varepsilon \in \IR[/mm] und ein [mm]n_{0},[/mm] sodass
>  >  
> > [mm]||f_{n}(x)[/mm] - f(x)|| < [mm]\varepsilon[/mm] (n [mm]\ge n_{0})[/mm]
>  >  
> > Das sind erstmal die Definition, die wir wissen.
>
> Knapp daneben. Es muß heißen "Für alle [mm]\epsilon >0[/mm]" und
> nicht "Es gibt ein [mm]\varepsilon\in\IR[/mm]"!
>  
> Und dann ist die Supremumsnorm für Funktionen und nicht
> für reelle Zahlen definiert! Es muß also [mm]\|f_n-f\|[/mm] und
> nicht [mm]\|f_n(x)-f(x)\|[/mm] heißen.
>  
>
> >
> > Und der Betrag von [mm]f_{n}(a)[/mm] - f(a) ist kleiner/gleich
> > [mm]||f_{n}(x)[/mm] - f(x)||.
>  >  Woraus doch folgen würde: [mm]|f_{n}(a)[/mm] - f(a)| <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Wieso "würde". Dies folgt einfach "würdelos".
>  
> >  

> > Die glm. Konvergenz ist ja ein "stärkerer" Begriff und
> > impliziert die pktw. Konvergenz.
> > Wenn ich also eine Grenzfunktion für die glm. Konvergenz
> > gefunden habe, muss meine Funktionenfolge auch pktw. gegen
> > diese konvergieren.
> >
> > Die Supremumsnorm
> >
> > [mm]\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>  >

>  
> > sagt mir ja, dass für immer größer werdende n der
> > Abstand zwischen der Funktionenfolge zur Grenzfunktion Null
> > wird.
>
> Mir sagt das dagegen gar nichts! Was ist der "Abstand einer
> Funktionenfolge zur Grenzfunktion?" Wenn Du schon den
> Begriff der Konvergenz einer Folge in Worte fassen willst:
> Für genügend große n werden die Abstände der
> Folgenglieder [mm]f_n[/mm] zur Grenzfunktion [mm]f[/mm] beliebig klein.

das ist wunderbar gesagt. Und der Abstand zwischen [mm] $f_n$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] wird
"bzgl.  der Supremums- (bzw. Unendlich-) Norm gemessen", was man, auch,
wenn es nicht ganz korrekt ist, sowas "wie der maximal vorhandene pktw.
Abstand" ist. (Besser spricht man halt vom "supremalen" Abstand...).
Ich finde allerdings die Anschauung mit dem [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] der Graphen hier
auch echt gut: Die Beträge der Differenzen der Abstände "gehen gleichmäßig
gegen Null" oder "die [mm] $f_n$ [/mm] nähern sich überall gleich gut (also glm.) an [mm] $f\,$". [/mm]

  

> >
> > zu [mm]M_{1}[/mm]
>  >  
> > Wenn [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gilt
>  >  
> > [mm]|f_{n}(x_{n})[/mm] - [mm]f(x_{n})|[/mm] = [mm]|\bruch{n*\bruch{1}{n}}{1 + n^{2}*\bruch{1}{n^{2}}}|[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  >  
> > Also kann nicht [mm]\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in D\} \to[/mm] 0
> > gelten.
> > Der Abstand zwischen Funktionenfolge und Grenzfunktion wird
> > nicht Null.
>
> Richtig!
>  
> >
> > zu [mm]M_{1}[/mm]
>  
> Du meinst [mm]M_2[/mm].
>  
> >  

> > [mm]|f_n(x)-f(x)|=\frac{nx}{1+n^2x^2} \underbrace{\le}_{x \ge 1 } \frac{nx}{n^2}=\frac{x}{n} \underbrace{\le}_{x \ge 2 } \frac{2}{n}\,[/mm]
>  
> >  

> > und [mm]\bruch{2}{n} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>  
> Richtig.

  
Gruß,
  Marcel

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