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| Aufgabe | In einem Labor befinndet sich ein Detektor, der einen Alarm auslöst, falls er fünf oder mehr Partikel innerhalb eines Zeitintervalls von einer Sekunde registriert. Die Hintergrundstrahlung sei so, dass die Anzahl der Partikel,
die den Detektor pro Sekunde erreichen, Poi(0:5)-verteilt sei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor in einer bestimmten Sekunde einen Alarm auslöst? |
Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum gestellt und mir fehlen irgentwie die Ideen, was ich tun soll,
klar, weiß ich, das ich unendliche viele "Versuche" oder zeitintervalle habe
und das ganze >=5 ist, wenn Alarm ausgelöst wird.
Aber mehr weiß ich leider nicht, vielleicht mag mir ja jemand helfen. Danke euch
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Hallo!
> In einem Labor befinndet sich ein Detektor, der einen Alarm
> auslöst, falls er fünf oder mehr Partikel innerhalb eines
> Zeitintervalls von einer Sekunde registriert. Die
> Hintergrundstrahlung sei so, dass die Anzahl der Partikel,
> die den Detektor pro Sekunde erreichen, Poi(0:5)-verteilt
> sei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
> Detektor in einer bestimmten Sekunde einen Alarm auslöst?
> Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum gestellt und
> mir fehlen irgentwie die Ideen, was ich tun soll,
> klar, weiß ich, das ich unendliche viele "Versuche" oder
> zeitintervalle habe
> und das ganze >=5 ist, wenn Alarm ausgelöst wird.
Genau.
Es geht ja in der Aufgabenstellung um eine bestimmte Sekunde.
In dieser, so wissen wir, ist die Anzahl X der Partikel, die den Detektor pro Sekunde erreichen, Poi(0,5)-verteilt.
Der Alarm wird also ausgelöst, falls [mm] $X\ge [/mm] 5$.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X\ge [/mm] 5)$.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> In einem Labor befinndet sich ein Detektor, der einen Alarm
> auslöst, falls er fünf oder mehr Partikel innerhalb eines
> Zeitintervalls von einer Sekunde registriert. Die
> Hintergrundstrahlung sei so, dass die Anzahl der Partikel,
> die den Detektor pro Sekunde erreichen, Poi(0:5)-verteilt
> sei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
> Detektor in einer bestimmten Sekunde einen Alarm auslöst?
> Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum gestellt und
> mir fehlen irgentwie die Ideen, was ich tun soll,
> klar, weiß ich, das ich unendliche viele "Versuche" oder
> zeitintervalle habe
> und das ganze >=5 ist, wenn Alarm ausgelöst wird.
> Aber mehr weiß ich leider nicht, vielleicht mag mir ja
> jemand helfen. Danke euch
[mm]\mathcal{P}_{\lambda}(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm] und [mm]P(A)=1-P(A^c)[/mm]
LG
gfm
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Hallo, danke für eure Tipps, setzt ich jetzt für k=5 ein und dann habe ich doch immernoch mein [mm] \lambda, [/mm] was macht ich denn dann damit oder ist das schon alles? Das kann ich mir kaum vorstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo, danke für eure Tipps, setzt ich jetzt für k=5 ein
> und dann habe ich doch immernoch mein [mm]\lambda,[/mm] was macht
> ich denn dann damit oder ist das schon alles? Das kann ich
> mir kaum vorstellen.
>
Stellt es Dir so vor:
Alle zwei Sekunden erreicht im Durchschnitt 1 Teilchen den Detektor. Aber eben nur nur im Durchschnitt. Es könnte auch vorkommen, dass gar kein Teilchen während zwei Sekunden registriert wird, oder aber auch 10.
Sei jetzt [mm] N_t [/mm] die Anzahl der Teilchen, die den Detektor bis zum Zeitpunkt t [s] erreicht haben.
Der Zuwachs [mm] N_t-N_s [/mm] an registrierten Teilchen zwischen zwei Zeitpunkten s<t folgt der Possion-Verteilung [mm] \mathcal{P}_{\lambda(t-s)}.
[/mm]
Dein [mm] \lambda [/mm] beschreibt die zeitliche Intensität mit der die Teilchen im Durchschnitt das Gerät erreichen und ist in Deinem Fall 0.5 [mm] [s^{-1}]
[/mm]
Damit folgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine einzelne betrachtete Sekunde (=Zeitintervall der Länge 1[s]) der Verteilung [mm] \mathcal{P}_{0.5 [s^{-1}]*1[s]}=\mathcal{P}_{0.5}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass dort genau k Teilchen registriert wurden, ist dann [mm] ((0.5)^k/k!)e^{-0.5}.
[/mm]
Jetzt kannst Du das Gesuchte über das Gegenereignis berechnen.
LG
gfm
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hallo,
vielen lieben dank, dann werde ich mich morgen mal an dem rest versuchen, ihr seid echt klasse.
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Hallo,
also ich habe mich jetzt an der Aufgabe versucht und für k=5 eingesetzt, und dann 1-den dort ausgerechneten wert bestimmt,
also 1-0,000158 und erhalte dann 99,942 als wahrscheinlichkeit, dass 5 oder mehr partikel durchfliegen, stimmt das so?
Danke euch schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 16.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
> also ich habe mich jetzt an der Aufgabe versucht und für
> k=5 eingesetzt, und dann 1-den dort ausgerechneten wert
> bestimmt,
> also 1-0,000158 und erhalte dann 99,942 als
> wahrscheinlichkeit, dass 5 oder mehr partikel durchfliegen,
> stimmt das so?
> Danke euch schon mal
Ne. Das Gerät geht ja los, wenn es 5 oder mehr sind. Auf direktem Weg müßtest Du nun für alle [mm] k\ge [/mm] 5 alle Werte aufsummieren. Aber es geht auch anders:
Es bleibt stumm, wenn es 0,1,2,3 oder 4 sind. Das rechnest Du aus und ziehst das dann von eins ab. Dann hast die wieder die Wahrscheinlichkeit, das es Alarm schlägt.
LG
gfm
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okay, danke danke, dann setzte ich das ein, addiere sie und 1-summe von k=0 bis 4 , jetzt ist es mir auch klar.
Danke
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