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Forum "mathematische Statistik" - Poisson-Verteilung
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Poisson-Verteilung: Maximum-Likelihood-Schätzer
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Di 28.10.2014
Autor: GeMir

Aufgabe
Seien [mm] $$X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} Po(\lambda), [/mm] \ [mm] \lambda [/mm] > 0$$ Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] $\lambda$. [/mm]



Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch:
$L(p | [mm] x_1, \ldots, x_n) [/mm] &= [mm] \prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}$ [/mm]

(gemeinsame Dichte von $n$ stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen).

Die Log-Likelihood-Funktion ist somit gegeben durch:

$l(p | [mm] x_1, \ldots, x_n) [/mm] = [mm] \ln\Bigg(\prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln\Bigg(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)\\ [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\big(\ln(\lambda^{x_i}) - \ln(x_i!) + \ln(e^{-\lambda})\big)}\\ [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\big(x_i\cdot\ln(\lambda) - \ln(x_i!) -\lambda\big)}\\ [/mm]
= [mm] \ln(\lambda)\cdot\sum_{i=1}^{n}{x_i} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\lambda}\\ [/mm]
= [mm] \ln(\lambda)\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)} [/mm] - [mm] n\cdot\lambda$ [/mm]

Notwendige Bedingung: [mm] $\frac{\partial l}{\partial p} [/mm] = 0$

[mm] $\frac{\partial l}{\partial \lambda} [/mm] &= [mm] \frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - n$

Also:

[mm] $\frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - n = 0$

Wegen $n [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $\lambda [/mm] > 0$:

[mm] $\frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x} [/mm] - 1 = [mm] 0\\ [/mm]
[mm] \frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x} [/mm] = [mm] 1\\ [/mm]
[mm] \bar{x} [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm]

Hinreichende Bedingung: [mm] $\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} \neq [/mm] 0$

[mm] $\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\lambda^2}\cdot n\cdot\bar{x}$ [/mm]

Und an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter, weil der Wert von [mm] $\bar{x}$ [/mm] ja von einer konkreten Realisation der Stichprobe abhängt.

Ups, die Frage hat sich erledigt: der Träger ist ja [mm] \mathbb{N}_0 [/mm] :)

        
Bezug
Poisson-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Di 28.10.2014
Autor: DieAcht

Hallo GeMir,


> Seien [mm]X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} Po(\lambda), \ \lambda > 0[/mm]
> Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für
> [mm]$\lambda$.[/mm]
>  
>
> Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch:
> [mm]L(p | x_1, \ldots, x_n) &= \prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}[/mm]
>  
> (gemeinsame Dichte von [mm]n[/mm] stochastisch unabhängigen
> Zufallsvariablen).
>  
> Die Log-Likelihood-Funktion ist somit gegeben durch:
>
> $l(p | [mm]x_1, \ldots, x_n)[/mm] =
> [mm]\ln\Bigg(\prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)[/mm]
> =
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln\Bigg(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)\\[/mm]
>   = [mm]\sum_{i=1}^{n}{\big(\ln(\lambda^{x_i}) - \ln(x_i!) + \ln(e^{-\lambda})\big)}\\[/mm]
>  
> = [mm]\sum_{i=1}^{n}{\big(x_i\cdot\ln(\lambda) - \ln(x_i!) -\lambda\big)}\\[/mm]
>  
> = [mm]\ln(\lambda)\cdot\sum_{i=1}^{n}{x_i}[/mm] -
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)}[/mm] - [mm]\sum_{i=1}^{n}{\lambda}\\[/mm]
>   = [mm]\ln(\lambda)\cdot n\cdot\bar{x}[/mm] -
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)}[/mm] - [mm]n\cdot\lambda$[/mm]
>  
> Notwendige Bedingung: [mm]\frac{\partial l}{\partial p} = 0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial l}{\partial \lambda} &= \frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} - n[/mm]
>  
> Also:
>  
> [mm]\frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} - n = 0[/mm]
>  
> Wegen [mm]n \neq 0[/mm] und [mm]\lambda > 0[/mm]:
>  
> [mm]$\frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x}[/mm] - 1 = [mm]0\\[/mm]
>  [mm] \frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x}[/mm] = [mm]1\\[/mm]
>  [mm] \bar{x}[/mm] = [mm]\lambda$[/mm]
>  
> Hinreichende Bedingung: [mm]\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} \neq 0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} = -\frac{1}{\lambda^2}\cdot n\cdot\bar{x}[/mm]

[ok]

> Und an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter, weil
> der Wert von [mm]\bar{x}[/mm] ja von einer konkreten Realisation der
> Stichprobe abhängt.
>  
> Ups, die Frage hat sich erledigt: der Träger ist ja
> [mm]\mathbb{N}_0[/mm] :)

Richtig. Wegen [mm] \lambda>0 [/mm] ist dann [mm] -\frac{1}{\lambda^2}<0 [/mm] und wegen [mm] n\not=0 [/mm] folgt..


Gruß
DieAcht

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