Poisson Approx. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | eine glühbirne ist nach der produktion zu 1.5% defekt (0.015). wieviele birnen müss man auswählen, um mit einer wahrscheinlichkeit von mehr als 0.8, sagen zu können das 100 birnen von den ausgewählten funktionieren. |
so finde aufgabe sieht einfach aus, hat aber ihre tücken.
=> [mm] \vektor{n \\ 100}*(0.985)^{100}(0.015)^{n-100}\ge0.8
[/mm]
heisst ich wähle aus n birnen 100, wobei eine zu 98.5% funktioniert, sodass die 100 zu 80% funktionieren sollen.
da ich auch ohne zurücklegen ziehe, denke ich das die binomialerteilung der richtige ansatz ist.
liefert mir die poisson approx.:
[mm] e^{-0.985n}*\bruch{(0.985n)^(100)}{100!}\ge0.8
[/mm]
diesen therm kann man allerdings nicht analytisch lösen, daher denke ich das mein ansatz falsch sein könnte, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 09.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Da schau her.
vg Luis
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ich muss da nochmal nachhaken
ges [mm] P(X\ge100)\ge0.8=1-P(X<100)\ge0.8
[/mm]
[mm] 1-((P(x=1)+P(x=2)+...+P(X=99))\ge0.8
[/mm]
[mm] 1-(\vektor{n \\ 1}*(0.985)^{1}*(0.015)^{n-1}+\vektor{n \\ 2}*(0.985)^2...)
[/mm]
[mm] 1-(e^{-0.985n}*(\bruch{(0.985n)^{1}}{1!}+\bruch{(0.985n)^{2}}{2!}+...+\bruch{(0.985n)^{99}}{99!})
[/mm]
[mm] 1-e^{-0.985n}*\summe_{n=1}^{99}\bruch{(0.985n)^{k}}{k!} [/mm]
und was mach ich jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 09.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Arvi-Aussm-Wald,
beachte, dass X binomialverteilt ist mit n und $p=0.985$. Gesucht ist
[mm] $n\ge100$ [/mm] mit
[mm] \begin{matrix}
P(X\ge100)
&=&P(X=100)+\dots+P(X=n) \\
&=&\dbinom{n}{100}0.985^{100}0.015^{n-100}+\dots+\dbinom{n}{100}0.985^{n}0.015^0 \\
&\approx&\dfrac{(0.985n)^{100}}{100!}+\dots+\dfrac{(0.985n)^{n}}{n!}\\
&\ge&0.8
\end{matrix}
[/mm]
Stimmt, du hast Recht, das ist sehr unschoen. Man kann ein
Statistikprogramm heranziehen und findet $n=102$.
Du kannst aber auch die Approximation der Binomial- durch die
Normalverteilung benutzen:
[mm] $P(X\ge100)=1-P(X\le99)\approx1-\Phi\left(\dfrac{99+0.5-0.985n}{\sqrt{0.015\times0.985n}}\right)$
[/mm]
vg Luis
PS: Sorry, mein Hinweis oben war nicht sehr hilfreich.
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