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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | | Auf den n Seiten eines Buches seien n Druckfehler zufällig verteilt [mm] (n\in\IN). [/mm] Wie gorß ist die Wahrscheinlihckeit, dass auf den ersten beiden Seiten je genau ein Druckfehler zu finden ist? |
Hallo alle miteinander,
mein Problem bei dieser Aufgabe bei mir ist, dass ich nicht weiß wie ich das so hinbekomme, dass die ersten beiden Seiten nur einen Fehler haben. Ich habe erstmal ausgerechnet, wie groß denn die Wahrscheinlichkeit ist, dass alle Seiten genau einen Fehler besitzen:
durchschnitlich gibt es ja [mm] \bruch{n}{n} [/mm] Fehler [mm] \Rightarrow\lambda=1
[/mm]
X= Anzahl der Fehler auf einer Seite
P(X=1)= [mm] \bruch{\lambda^{1}}{1!}*e^{-\lambda) = \bruch{1}{1}*e^/-1} [/mm] = 0,3679
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt n*0,3679 Seiten mit genau einem Fehler.
Jetzt weiß ich nicht, wie ich da noch hineinbringen kann, dass nur die ersten beiden Seiten genau einen fehler haben. Die Wahrscheinlichkeit müsste meiner Meinung nach stark ansteigen, da die anderen n-2 Seiten ja beliebig viele Fehler haben dürfen.
Schon einmal vielen Dank im Voraus!
Kyrill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mi 06.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin Kyrill,
es gibt $ [mm] n^n [/mm] $ Moeglichkeiten, die $ n $ Druckfehler auf die $ n $
Seiten zu verteilen. Weisen die ersten beiden Seiten jeweils genau einen
Druckfehler auf, so gibt es noch $ [mm] (n-2)^{n-2} [/mm] $ Moeglichkeiten die
restlichen Druckfehler auf die restlichen $ n-2 $ Seiten zu verteilen. Es
gibt [mm] ${n\choose 2}$ [/mm] Moeglichkeiten, fuer die ersten zwei Seiten
Druckfehler auszuwaehlen, die jeweils auf zwei Weisen angeordnet sein
koennen. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
[mm] $2{n\choose 2}\frac{(n-2)^{n-2}}{n^n}=\frac{1}{2}{n\choose 2}\left(\frac{2}{n}\right)^2\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n-2}$.
[/mm]
hth
PS: Bitte das Ergebnis mit Vorsicht geniessen. Habe das Gefuehl, dass ich irgendwo einen Schnitzer gemacht habe...
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