Poisson Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Fr 27.01.2006 | | Autor: | TomTom14 |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Poisson-Prozess { [mm] N_{t}|t>=0} [/mm] mit Intensität [mm] \lambda. [/mm] Man berechne für [mm] \lambda [/mm] = 2
a.) [mm] P(N_{3}=6)
[/mm]
b.) [mm] P(N_{3.7}=4|N_{2.1}=2) [/mm] |
bei a ist es ja kein Probelm, da bekomm ich 16,06% heraus aber bei b.) kenn ich mich nicht aus. wie muss ich da vorgehen? [mm] P(N_{3.7}=4|N_{2.1}=2) [/mm] was bedeutet der |?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo TomTom14!
Bei der b) handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Es gilt:
[mm] $P(N_{3.7}=4|N_{2.1}=2) [/mm] = [mm] \frac{P(\{N_{3.7} = 4\} \cap \{N_{2.1}=2\})}{P(N_{2.1}=2)}$.
[/mm]
Und nun beachte noch, dass
[mm] $\{N_{3.7} = 4\} \cap \{N_{2.1}=2\} [/mm] = [mm] \{N_{2.1}=2\} \cap \{N_{3.7}-N_{2.1} = 2\}$
[/mm]
gilt. Und jetzt kannst du die Unabhängigkeit der Zuwächse bei einem Poisson-Prozess ausnutzen.
(Bemerkung für Moderatoren: Die Frage kann bei "Stochastische Prozesse" einsortiert werden.)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 29.01.2006 | | Autor: | TomTom14 |
Hab eine blöde Frage wie kann ich so eine Ausdruck mit [mm] \cap [/mm] berechnen?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:17 Mo 30.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
wie Julius ja schon geschrieben hat, gilt
[mm] P(N_{3.7}=4|N_{2.1}=2) [/mm] = [mm] \bruch{P(\{N_{3.7}=4\}\cap\{N_{2.1}=2\})}{P(N_{2.1}=2)}
[/mm]
DFa bei Poisson-Prozessen die Zuwächse stochastisch unabhängig sind, kannst Du den Zähler auf der rechten Seite auseinander ziehen:
[mm] P(\{N_{3.7}=4\}\cap\{N_{2.1}=2\}) [/mm] = [mm] P(N_{3.7}=4)*P(N_{2.1}=2)
[/mm]
So ist die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen definiert.
Damit kannst Du einen Faktor kürzen:
[mm] P(N_{3.7}=4|N_{2.1}=2) [/mm] = [mm] \bruch{P(\{N_{3.7}=4\}\cap\{N_{2.1}=2\})}{P(N_{2.1}=2)} [/mm] = [mm] \bruch{P(N_{3.7}=4)*P(N_{2.1}=2)}{P(N_{2.1}=2)} [/mm] = [mm] P(N_{3.7}=4)
[/mm]
Es gilt also nur noch, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wobei Du ja weißt, dass
[mm] N_{t} \sim Poi(\lambda [/mm] t)
Chakka, jetzt schaffst Du's! 
Liebe Grüße,
djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Di 31.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo TomTom14!
Da, wie gesagt, die Zuwächse (!) stochastisch unabhängig sind, gilt:
[mm] $P(\{N_{2.1} = 2\} \cap \{N_{3.7} - N_{2.1} = 2 \}) [/mm] = [mm] P(\{N_{2.1} = 2\}) \cdot P(\{N_{3.7} - N_{2.1} = 2\})$.
[/mm]
Dagegen sind [mm] $N_{2.1}$ [/mm] und [mm] $N_{3.7}$ [/mm] nicht stochastisch unabhängig.
Liebe Grüße
Julius
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