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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Poissonverteilung
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Poissonverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 24.10.2018
Autor: questionpeter

Aufgabe
Aus dem matürlichen Zahlen wird eine zufällige Teilmenge A ausgewählt, deren Größe Poissonverteilt ist [mm] (\lambda [/mm] >0). Bestimmen Sie die erwartende Anzahl an k-elementige Teilmenge von A für [mm] k\ge [/mm] 0.

Hallo,

muss man da den Erwartungswert berechnen, d.h.

[mm] E(X)=\sum_{k\ge 0}P(X=k)x=\lambda? [/mm]

Könnt ihr mir einen Tipp geben?

        
Bezug
Poissonverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 24.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich formuliere die Frage mal anders:

Als erstes wird eine zufällige Menge A gewählt, deren Größe Poisson-verteilt ist.
Nun sollst du bestimmen, wie viele k-elementige Teilmengen es gibt (zu erwarten sind) für $k>0$.

Als Beispiel: Wir tun jetzt mal so, als hätten wir die Menge $A = [mm] \{1,2,5,6,7\}$ [/mm] bekommen.

Dann gibt es exakt folgende Teilmengen für
k=1: 5 Stück, nämlich [mm] $\{1\},\{2\},\{5\},\{6\},\{7\}$ [/mm]
k=2: [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] = 10 2-elementige Teilmengen
k=3: 10 3-elementige Teilmengen
k=4 : 5 4-elementige Teilmengen
k=5: eine 5-elementige Teilmenge
k>0: 0 k-elementige Teilmengen

Besseres Verständnis nun?

Gruß,
Gono

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Bezug
Poissonverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Mi 24.10.2018
Autor: questionpeter

Hallo,

vielen Dank für deine Erklärung. Soweit ich es verstanden habe wäre es dann
[mm] \vert A\vert [/mm] <k, dann haben wir 0 k-elementige Teilmenge

Falls [mm] \vert A\vert \ge [/mm] k, dann bekommt man [mm] \vektor{\vert A\vert \\ k} [/mm] k-elementige Teilmengen

Sei [mm] \vert A\vert=m [/mm] mit [mm] m\ge [/mm] k, dann ist also

[mm] E(A)=\sum_{k=0}^m\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} [/mm]

Stimmt das soweit? vielen Dank!

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Bezug
Poissonverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 25.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]\vert A\vert[/mm] <k, dann haben wir 0 k-elementige Teilmenge

[ok]
  

> Falls [mm]\vert A\vert \ge[/mm] k, dann bekommt man [mm]\vektor{\vert A\vert \\ k}[/mm]
> k-elementige Teilmengen

[ok]
  

> Sei [mm]\vert A\vert=m[/mm] mit [mm]m\ge[/mm] k, dann ist also
>  
> [mm]E(A)=\sum_{k=0}^m\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm]

das stimmt nicht.
Erstmal: A ist ja eine Menge, da kannst du keinen Erwartungswert von nehmen, da wissen wir nämlich nichts drüber.
Was wir aber wissen, ist, dass |A| poissonverteilt ist zum Parameter [mm] $\lambda$, [/mm] damit gilt also $E[|A|] = [mm] \lambda$, [/mm] das bringt dir aber nix.

Was wir aber auch wissen, ist: $P[|A| = k] = [mm] {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,{\mathrm {e}}^{{-\lambda }}$ [/mm]

Wir haben bereits, dass  [mm]\vektor{\vert A\vert \\ k}[/mm] die Anzahl an $k$-elementigen Teilmengen ist zu gegebenem |A|. Wir wollen nun aber die erwartete Anzahl haben… also gilt es

[mm] $E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right]$ [/mm]

zu berechnen.
Na dann mal los!

Gruß,
Gono



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Poissonverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Do 25.10.2018
Autor: questionpeter

D.h. k ist fest und für jede Menge A mit [mm] \vert A\vert \ge [/mm] k erhalte ich  [mm] \vektor{\vert A\vert\\ k} [/mm] k-elementige Teilmengen. Also

[mm] E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} [/mm]

Stimmt das? Wenn ja, kann ich die Summe weiterzusammenfassen oder wäre das schon die Lösung? (ich könnte höchsten [mm] e^{-\lambda} [/mm] vor der Summe ziehen, aber weiterbringen tut es mir nicht)

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Poissonverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Do 25.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}[/mm]

[ok]  

> Stimmt das? Wenn ja, kann ich die Summe
> weiterzusammenfassen oder wäre das schon die Lösung?

Na was hast du denn versucht?
Wie wäre es mit: Kürzen, alles aus der Summe ziehen, was nicht vom Laufindex abhängt, Indexverschiebung…

Gruß,
Gono

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Bezug
Poissonverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Do 25.10.2018
Autor: questionpeter

ich habe nun folgendes erhalten

[mm] E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} =e^{-\lambda}\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!} =e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\vektor{m-k \\ k}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{(m-k)!}{(m-2k)!}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-2k)!} [/mm]

Wäre es damit fertig?

Bezug
                                                        
Bezug
Poissonverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> ich habe nun folgendes erhalten
>  
> [mm]E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} =e^{-\lambda}\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!} =e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\vektor{m-k \\ k}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{(m-k)!}{(m-2k)!}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-2k)!}[/mm]
>  
> Wäre es damit fertig?

nein, weil es nicht stimmt. Deinen Umformungen kann ich nicht folgen !

Es ist

[mm] $\vektor{m \\ k} \frac{\lambda^m}{m!}=\frac{\lambda^k}{k!}\frac{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}$ [/mm]

Also

[mm] $\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k} \frac{\lambda^m}{m!}= \frac{\lambda^k}{k!} \sum_{m\ge k}\frac{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=\frac{\lambda^k}{k!} e^{\lambda}$ [/mm]


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