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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Do 15.01.2009 | | Autor: | hackel87 |
| Aufgabe | | Stellen Sie alle Lösungen z Element C der Gleichung [mm] z^5=1 [/mm] in Polarkoordinaten dar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute!
Ich denke bei dieser Aufgabe fehlt mir nicht mehr viel - vorausgesetzt ich habe sie bis jetzt richtig verstanden! ;)
Hier mein Ansatz:
[mm] e^{i*2\pi}=1 [/mm] so folgt
[mm] (e^{i*2\pi})^{1/5}=z
[/mm]
[mm] =e^{i*2\pi*1/5}=z
[/mm]
[mm] =e^i^2^[/mm] [mm]\pi[/mm]^1^/^5 * [mm] e^1^/^5=z
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter?! kann mir jemand helfen?
Danke schon jetzt!
LG
Michael
PS: Das Pi soll auch in der Hochzahl stehen - das habe ich irgenwie nicht hinbekommen ;)
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Hallo!
Generell solltest du eine Formel hier komplett in Dollar-Zeichen einschließen, dann zerhackt das Forum die Formel nicht so.
Zu deiner Frage:
Du weißt nun, daß [mm] $z=e^2\pi [/mm] i/5$ ist. Der komplexe Exponent gibt dir den Winkel in Porarkoordinaten an, ein Vorfaktor zusammen mit einem realen Exponenten den Betrag. Der Betrag ist hier mangels Vorfaktor / reellem Exponenten gleich eins. Also könntest du beispielsweise schreiben:
[mm] $z=\vektor{r\\ \phi}=\vektor{1\\ 2\pi / 5}$
[/mm]
Aber Achtung! Rein anschaulich werden komplexe Zahlen multipliziert, indem die Beträge multipliziert und die Winkel addiert werden. Der Betrag ist daher immer 1, aber es gibt noch andere Winkel:
[mm] $5*(2\pi [/mm] / [mm] 5)=2\pi\hat=0$
[/mm]
[mm] $5*(2\pi* [/mm] 2/ [mm] 5)=4\pi\hat=0$
[/mm]
[mm] $5*(2\pi* [/mm] 3/ [mm] 5)=6\pi\hat=0$
[/mm]
[mm] $5*(2\pi* [/mm] 4/ [mm] 5)=8\pi\hat=0$
[/mm]
[mm] $5*(2\pi* [/mm] 5/ [mm] 5)=10\pi\hat=0$ [/mm] <-- Hier steht nix anderes als [mm] 1^5=5 [/mm] !
...
Denk dran, daß alle komplexe Zahlen mit ganzzahligem, natürlichem Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] als Winkelargument auf der positiven, reellen Achse liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Do 15.01.2009 | | Autor: | hackel87 |
Hallo Sebastian und danke für deine Antwort.
Das der Betrag gleich eins ist, ist mir klar... aber mir ist noch nicht klar wie ich auf die möglichen Lösungen der Gleichung [mm] z^5=1 [/mm] kommen soll.
Oder ist das bereits deine Auflistung?
Irgendwie stehe ich da immernoch auf dem SChlauch :-/
> Der Betrag ist daher immer 1, aber
> es gibt noch andere Winkel:
>
> [mm]5*(2\pi / 5)=2\pi\hat=0[/mm]
>
> [mm]5*(2\pi* 2/ 5)=4\pi\hat=0[/mm]
>
> [mm]5*(2\pi* 3/ 5)=6\pi\hat=0[/mm]
>
> [mm]5*(2\pi* 4/ 5)=8\pi\hat=0[/mm]
>
> [mm]5*(2\pi* 5/ 5)=10\pi\hat=0[/mm] <-- Hier steht nix anderes als
> [mm]1^5=5[/mm] !
>
> ...
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> Hallo Sebastian und danke für deine Antwort.
>
> Das der Betrag gleich eins ist, ist mir klar... aber mir
> ist noch nicht klar wie ich auf die möglichen Lösungen der
> Gleichung [mm]z^5=1[/mm] kommen soll.
Hallo,
da der Betrag der gesuchten komplexen Zahl =1 ist, hat die Lösung z die Gestalt [mm] z=e^{i\phi} =cos(\phi)+isin(\phi) [/mm] mit [mm] \phi\in [0,2\pi[.
[/mm]
Event_Horizon hat Dir erklärt, wie komplexe Zahlen multipliziert werden: Multipliaktion der Beträge , Addition der Winkel.
Wenn Du eine Lösung von [mm] z^5=1 [/mm] suchst, brauchst Du also die Winkel [mm] \phi\in [0,2\pi[ [/mm] , für welche [mm] 5\phi=0 [/mm] ist, denn [mm] z^5=1 [/mm] ist ja ohne komplexen Anteil.
Von diesen Winkeln gibt es 5 Stück, unten ist Dir aufgelistet, welche dies sind:
> Oder ist das bereits deine Auflistung?
> Irgendwie stehe ich da immernoch auf dem SChlauch :-/
>
>
> > Der Betrag ist daher immer 1, aber
> > es gibt noch andere Winkel:
> >
> > [mm]5*(2\pi / 5)=2\pi\hat=0[/mm]
> >
> > [mm]5*(2\pi* 2/ 5)=4\pi\hat=0[/mm]
> >
> > [mm]5*(2\pi* 3/ 5)=6\pi\hat=0[/mm]
> >
> > [mm]5*(2\pi* 4/ 5)=8\pi\hat=0[/mm]
> >
> > [mm]5*(2\pi* 5/ 5)=10\pi\hat=0[/mm] <-- Hier steht nix anderes als
> > [mm]1^5=5[/mm] !
Durch Einsetzen der Winkel in in [mm] z=cos(\phi)+isin(\phi) [/mm] bzw. [mm] z=e^{i\phi} [/mm] erhältst Du die gesuchten 5 Lösungen der Gleichung [mm] z^5=1.
[/mm]
Gruß von Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 15.01.2009 | | Autor: | hackel87 |
Hi,
erstmal danke auch für deine Antwort. Jetzt ist der Groschen soweit gefallen!! Ich hatte sogar schon in einer früheren Aufgabe das so ähnlich gelöst! Danke!!
Aber eine kurze Frage habe ich noch, auf das ich jetzt einfach nicht komme... Wieso muss gelten $ [mm] 5\phi=0 [/mm] $ ?
LG
Michael
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> Aber eine kurze Frage habe ich noch, auf das ich jetzt
> einfach nicht komme... Wieso muss gelten [mm]5\phi=0[/mm] ?
Weil Du als Ergebnis doch eine die reelle Zahl 1 haben willst, also muß sein [mm] z=cos(5\phi) +i*sin(5\phi),
[/mm]
und das ist der Fall, wenn [mm] 5\phi [/mm] =0 ist bzw. ein Vielfaches von [mm] 2\pi. [/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
lies auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß v. Angela
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