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| Aufgabe | Sei z=1+i.
Was ist argz? |
Hallo.
Ich soll die oben gestellte Aufgabe erledigen und hab folgendes Problem.
Über dem 1+i ist ein vertikaler Strich gezogen worden, wobei ich jedoch nicht weiß, wofür der steht.
Ich meine mich zu erinnern, dass es sich dabei um die konjugierte komplexe Zahl handelt?
Dann wäre z=1-i.
z würde somit im 4. Quadranten liegen.
Nun habe ich folgende Formel im Internet gefunden:
Für den Bereich [mm] [0,2\pi) [/mm] gilt:
Im 4. Quadranten:
[mm] \delta= 2\pi-\alpha
[/mm]
[mm] \delta=2\pi+arctan \bruch{a}{b}
[/mm]
Demnach folgt:
[mm] \delta=2\pi+45°
[/mm]
=405°
[mm] \alpha=45°= \bruch{\pi*45}{180}
[/mm]
Irgendwie denke ich das ich einen Fehler gemacht habe.
Könnt ihr mir bitte helfen.
Danke :)
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Hallo Masseltof,
> Sei z=1+i.
> Was ist argz?
> Hallo.
> Ich soll die oben gestellte Aufgabe erledigen und hab
> folgendes Problem.
>
> Über dem 1+i ist ein vertikaler Strich gezogen worden,
> wobei ich jedoch nicht weiß, wofür der steht.
> Ich meine mich zu erinnern, dass es sich dabei um die
> konjugierte komplexe Zahl handelt?
>
> Dann wäre z=1-i. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> z würde somit im 4. Quadranten liegen.
>
> Nun habe ich folgende Formel im Internet gefunden:
> Für den Bereich [mm][0,2\pi)[/mm] gilt:
>
> Im 4. Quadranten:
>
> [mm]\delta= 2\pi-\alpha[/mm]
>
> [mm]\delta=2\pi+arctan \bruch{a}{b}[/mm]
>
>
> Demnach folgt:
>
> [mm]\delta=2\pi+45°[/mm]
Ui, gemischte Maßeinheiten für die Winkel, das geht nicht gut...
Es ist außerdem [mm]\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}[/mm]
Also [mm]\operatorname{Arg}(1-i)=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi \ \hat = \ 315^{\circ}[/mm]
Das kommt doch auch hin, wenn du dir die Zahl [mm]z=1-i[/mm] mal ins Koordinatensystem einzeichnest ...
> =405°
> [mm]\alpha=45°= \bruch{\pi*45}{180}[/mm]
>
> Irgendwie denke ich das ich einen Fehler gemacht habe.
>
> Könnt ihr mir bitte helfen.
>
> Danke :)
Gruß
schachuzipus
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Hallo.
Danke für die Antwort :).
Dann noch eine Frage:
Habe ich mein z im ersten Quadranten so lautet die Berechnung des Winkels [mm] arctan(\bruch{a}{b}).
[/mm]
Der Winkel der dabei berechnet wird ist [mm] \alpha [/mm] und liegt zwischen der Reelen Achse und |z|.
Nun habe ich ein z im 2 Quadranten. Also bspw. z=-3+2i.
Welcher Winkel wird denn jetzt gesucht?
Der Winkel der zwischen |z| und der Imaginären Achse liegt [mm] also\delta [/mm] oder der Winkel zwischen der Reelen Achse(nun in negative Richtung) und |z|.
Denn die Formel [mm] arctan\bruch{a}{b}+\pi [/mm] für den 2. Quadranten gilt ja für Delta.
Ich dachte aber eigentlich, dass [mm] \alpha [/mm] gesucht wird.
Und für [mm] \alpha [/mm] gilt schließlich die Formel -arctan{a}{b}.
Ich bin etwas verwirrt, da mir das nach "Doppelgemoppel" aussieht.
Und ferner wüsste ich noch gerne folgendes:
Habe ich nun für z=x+0i , also liegt z nur auf der positiven/negativen (Teil) Reelen Achse, bzw z=0x+yi also liegt z nur auf der postiven/negativen(Teil) Imaginären Achse, gilt dann nicht allgemein argz=0?
Denn liegt z auf einer Geraden, also nicht in der Ebene, so hat man doch eigentlich keinen Winkel?
[mm] arctan(\bruch{a}{b}) [/mm] für für z auf der Reelen Achse funktionieren, auf der Imaginären Achse jedoch nicht, da man durch 0 teilen müsste und dies nicht definiert ist.
Sehe ich das richtig so?
Viele Grüße
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> Habe ich mein z im ersten Quadranten so lautet die
> Berechnung des Winkels [mm]arctan(\bruch{a}{b}).[/mm]
Kommt drauf an, was du mit a und b bezeichnet hast.
Wenn du $\ z\ =\ a+b*i$ gemeint hast, ist es anders, nämlich:
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] arctan\left(\bruch{b}{a}\right)$
[/mm]
> Der Winkel der dabei berechnet wird ist [mm]\alpha[/mm] und liegt
> zwischen der Reelen Achse und |z|. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Merke dir das mit dem Winkel (Argumentwinkel oder einfach
Argument einer komplexen Zahl) lieber gerade in allgemeiner
Form und nicht separat für jeden Quadranten !
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ arg(z)$ ist der Winkel, der von der positiven reellen Achse
aus bis zum Zeiger (Vektor) der Zahl z gemessen wird.
Positive Winkel stehen dabei für Drehungen "linksrum",
also im Gegenuhrzeigersinn, und negative für Drehungen
im Uhrzeigersinn.
Für die Zahl z=1-i kann man also [mm] $\alpha\ [/mm] =\ arg(z)\ = 315$° (im Bogenmaß [mm] $\frac{7}{4}\ \pi$ [/mm] )
setzen oder allenfalls [mm] $\alpha\ [/mm] =\ arg(z)\ = -45$° (im Bogenmaß [mm] $-\,\frac{1}{4}\ \pi$ [/mm] ) .
Für eine eindeutige Festlegung des Arguments beschränkt
man sich oft auf das Winkelintervall [mm] (-\pi [/mm] .. [mm] \pi] [/mm] .
> Nun habe ich ein z im 2 Quadranten. Also bspw. z=-3+2i.
> Welcher Winkel wird denn jetzt gesucht?
Wie oben gesagt: merke dir die Definition in der allgemeinen
Form und nicht für jeden Quadranten einzeln. Um einzelne
Fälle abzuklären, mach dir geeignete Skizzen und benütze
deine Kenntnisse aus der elementaren Trigonometrie !
> Der Winkel der zwischen |z| und der Imaginären Achse
> liegt [mm]also\delta[/mm] oder der Winkel zwischen der Reelen
> Achse(nun in negative Richtung) und |z|.
>
> Denn die Formel [mm]arctan\bruch{a}{b}+\pi[/mm] für den 2.
> Quadranten gilt ja für Delta.
> Ich dachte aber eigentlich, dass [mm]\alpha[/mm] gesucht wird.
> Und für [mm]\alpha[/mm] gilt schließlich die Formel
> -arctan{a}{b}.
>
> Ich bin etwas verwirrt, da mir das nach "Doppelgemoppel"
> aussieht.
>
> Und ferner wüsste ich noch gerne folgendes:
>
> Habe ich nun für z=x+0i , also liegt z nur auf der
> positiven/negativen (Teil) Reelen Achse, bzw z=0x+yi also
> liegt z nur auf der postiven/negativen(Teil) Imaginären
> Achse, gilt dann nicht allgemein argz=0?
sollte anschaulich klar sein:
positive reelle Achse --> [mm] \alpha=0
[/mm]
positive imaginäre Achse --> [mm] \alpha=90 [/mm] ° = [mm] \pi/4
[/mm]
negative reelle Achse --> [mm] \alpha=.......=........
[/mm]
negative imaginäre Achse --> [mm] \alpha=.......=........
[/mm]
> Denn liegt z auf einer Geraden, also nicht in der Ebene, so
> hat man doch eigentlich keinen Winkel?
Die reelle und die imaginäre Achse liegen natürlich auch
in der komplexen Zahlenebene, und zu jeder Zahl [mm] z\in\IC
[/mm]
(auch wenn sie vielleicht reell oder rein imaginär ist)
gibt es einen Argumentwinkel.
> [mm]arctan(\bruch{a}{b})[/mm] für für z auf der Reelen Achse
> funktionieren, auf der Imaginären Achse jedoch nicht, da
> man durch 0 teilen müsste und dies nicht definiert ist.
>
> Sehe ich das richtig so?
Für eine rein imaginäre Zahl z versagt zwar die Formel
$\ arg(z)\ =\ [mm] arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)$ [/mm] , doch daraus folgt nicht, dass arg(z)
nicht existiert.
Noch ein Tipp:
schau mal noch da hinein: ![[]](/images/popup.gif) ATAN2
LG Al-Chw.
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Hallo und danke für die Antwort.
Sind 90° nicht [mm] \bruch{\pi}{2}?
[/mm]
Also wäre argz auf der positiven reelen Achse 0rad.
Auf der positiven imaginären Achse [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Auf der negativen reelen Achse pi.
Auf der negativen imaginären Achse [mm] \bruch{3}{2}\pi
[/mm]
Auf der positiven reelen Achse [mm] 2\pi [/mm] oder eben 0rad.
Und zu den Winkeln.
Ich meinte es ja so:
Habe ich mein z in irgendeinem Quadranten gegeben, so ist der gesuchte Winkel, jener der zwischen der reelen Achse im 1. Quadranten und z liegt.
Male ich mir quasi ein Dreieck mit einem beliebigen z im 3 Quadranten auf, so liegt der Winkel zwischen der positiven reelen Achse und der Hypotenuse des Dreiecks.
Da z im3. Quadranten liegt ist der Winekl größer als [mm] \pi.
[/mm]
So richtig?
Und noch zu: z=1-i
[mm] tan\alpha=\bruch{-1}{1} [/mm]
[mm] \alpha= [/mm] -arctan{bruch{1}{1}}=45°
[mm] 2\pi=\alpha+\delta
[/mm]
[mm] 2\pi-\alpha=\delta
[/mm]
[mm] 360°-(-45)=\delta
[/mm]
[mm] 405°=\delta.
[/mm]
Mit der Formel [mm] 2\pi+arctan\bruch{a}{b} [/mm] erhalte ich jedoch das richtige Ergebnis.
Das kann nicht richtig sein, aber ich sehe auch gerade meinen Rechenfehler nicht.
Danke im Voraus.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Antwort.
> Sind 90° nicht [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
[mm]90^{\circ}[/mm] im Gradmaß entsprechen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] im Bogenmaß.
>
> Also wäre argz auf der positiven reelen Achse 0rad.
> Auf der positiven imaginären Achse [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Auf der negativen reelen Achse pi.
> Auf der negativen imaginären Achse [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
> Auf der positiven reelen Achse [mm]2\pi[/mm] oder eben 0rad.
>
> Und zu den Winkeln.
> Ich meinte es ja so:
> Habe ich mein z in irgendeinem Quadranten gegeben, so ist
> der gesuchte Winkel, jener der zwischen der reelen Achse im
> 1. Quadranten und z liegt.
> Male ich mir quasi ein Dreieck mit einem beliebigen z im 3
> Quadranten auf, so liegt der Winkel zwischen der positiven
> reelen Achse und der Hypotenuse des Dreiecks.
> Da z im3. Quadranten liegt ist der Winekl größer als
> [mm]\pi.[/mm]
>
> So richtig?
>
> Und noch zu: z=1-i
>
> [mm]tan\alpha=\bruch{-1}{1}[/mm]
> [mm]\alpha=[/mm] -arctan{bruch{1}{1}}=45°
>
> [mm]2\pi=\alpha+\delta[/mm]
>
> [mm]2\pi-\alpha=\delta[/mm]
>
> [mm]360°-(-45)=\delta[/mm]
>
> [mm]405°=\delta.[/mm]
>
> Mit der Formel [mm]2\pi+arctan\bruch{a}{b}[/mm] erhalte ich jedoch
> das richtige Ergebnis.
>
Hier muss es doch heißen:
[mm]2\pi\red{-}arctan\bruch{a}{b}[/mm]
>
> Das kann nicht richtig sein, aber ich sehe auch gerade
> meinen Rechenfehler nicht.
>
>
>
> Danke im Voraus.
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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> Hallo und danke für die Antwort.
> Sind 90° nicht [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
Klar - sorry ...
>
> Also wäre argz auf der positiven reelen Achse 0rad.
> Auf der positiven imaginären Achse [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> Auf der negativen reelen Achse pi.
> Auf der negativen imaginären Achse [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
> Auf der positiven reelen Achse [mm]2\pi[/mm] oder eben 0rad.
... und jetzt solltest du dir nur noch merken, dass das
Wort "reell" nach dem Doppel-e ein Doppel-l hat 
> Und zu den Winkeln.
> Ich meinte es ja so:
> Habe ich mein z in irgendeinem Quadranten gegeben, so ist
> der gesuchte Winkel, jener der zwischen der reelen Achse im
> 1. Quadranten und z liegt.
> Male ich mir quasi ein Dreieck mit einem beliebigen z im 3
> Quadranten auf, so liegt der Winkel zwischen der positiven
> reelen Achse und der Hypotenuse des Dreiecks.
> Da z im3. Quadranten liegt ist der Winekl größer als
> [mm]\pi.[/mm]
>
> So richtig?
>
> Und noch zu: z=1-i
>
> [mm]tan\alpha=\bruch{-1}{1}[/mm]
> [mm]\alpha=[/mm] -arctan{bruch{1}{1}}=45° ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das sollte doch jetzt -45° heißen !
>
> [mm]2\pi=\alpha+\delta[/mm]
Welchen Winkel meinst du jetzt mit [mm] \delta [/mm] ?
> [mm]2\pi-\alpha=\delta[/mm]
>
> [mm]360°-(-45)=\delta[/mm]
>
> [mm]405°=\delta.[/mm]
>
> Mit der Formel [mm]2\pi+arctan\bruch{a}{b}[/mm]
Mir ist immer noch nicht klar, warum du den Bruch [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
benützt, und nicht [mm] \bruch{a}{b}. [/mm] Was genau bedeuten denn a und b ?
> erhalte ich jedoch das richtige Ergebnis.
>
>
> Das kann nicht richtig sein, aber ich sehe auch gerade
> meinen Rechenfehler nicht.
Mach dir stets selber die genauen Bedeutungen der Variablen
klar, die du verwendest !
LG Al-Chw.
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Hallo.
Mit tan [mm] \alpha= \bruch{a}{b} [/mm] ist gemeint tan [mm] \alpha \bruch{Gegenkathete}{Ankathete}
[/mm]
Ich weiß gerade selbst nicht wie ich es gestern gehandhabt habe, aber normalerweise bezeichne ich [mm] \alpha [/mm] als jenen Winkel, der im "Dreieck" liegt und [mm] \delta [/mm] als jenen Winkel, der von Re(z)^+ bis zur Hypotenuse des Dreiecks reicht.
Also nocheinmal z=1-i.
1=Re(z)
-1=Im(z)
z liegt also im 4.Quadranten.
Nun stelle ich mir z im 4.Quadranten vor und erstelle ein Dreieck, welches z als Hypotenuse hat.
Gesucht wird der Winkel, welcher von der positiven Reelen Achse bis zur Hypotenuse z reicht.
Das ist die Differenz von [mm] 2\pi [/mm] und meinem Hilfswinkel [mm] \alpha [/mm] in meinem Dreieck.
Also: [mm] 2\pi-\alpha
[/mm]
alpha berechne ich folgendermaßen: [mm] tan\alpha=\bruch{-i}{1}
[/mm]
[mm] \alpha=-arctan\bruch({1}{1})=-45°
[/mm]
[mm] 2\pi-\alpha=\delta
[/mm]
[mm] 2\pi-(-\alpha)=delta
[/mm]
[mm] \delta=2\pi-(-45°) [/mm] -> falsch
Und genau das ist mein Problem. Die Formel [mm] arctan\bruch({Gegenkath}{Ankathe})+2\pi [/mm] kann ich mir selbst herleiten.
In Einzelschritten jedoch ist die Rechnung falsch.
Ansich kein Problem, da ja klar ist, dass der gesuchte Winkel eher nicht 405° betragen wird, aber mich störts trotzdem.
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo.
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> Mit tan [mm]\alpha= \bruch{a}{b}[/mm] ist gemeint tan [mm]\alpha \bruch{Gegenkathete}{Ankathete}[/mm]
>
> Ich weiß gerade selbst nicht wie ich es gestern gehandhabt
> habe, aber normalerweise bezeichne ich [mm]\alpha[/mm] als jenen
> Winkel, der im "Dreieck" liegt und [mm]\delta[/mm] als jenen Winkel,
> der von Re(z)^+ bis zur Hypotenuse des Dreiecks reicht.
>
> Also nocheinmal z=1-i.
>
> 1=Re(z)
> -1=Im(z)
>
> z liegt also im 4.Quadranten.
>
> Nun stelle ich mir z im 4.Quadranten vor und erstelle ein
> Dreieck, welches z als Hypotenuse hat.
> Gesucht wird der Winkel, welcher von der positiven Reelen
> Achse bis zur Hypotenuse z reicht.
>
> Das ist die Differenz von [mm]2\pi[/mm] und meinem Hilfswinkel
> [mm]\alpha[/mm] in meinem Dreieck.
> Also: [mm]2\pi-\alpha[/mm]
>
> alpha berechne ich folgendermaßen:
> [mm]tan\alpha=\bruch{-i}{1}[/mm]
> [mm]\alpha=-arctan\bruch({1}{1})=-45°[/mm]
>
> [mm]2\pi-\alpha=\delta[/mm]
> [mm]2\pi-(-\alpha)=delta[/mm]
> [mm]\delta=2\pi-(-45°)[/mm] -> falsch
>
>
>
> Und genau das ist mein Problem. Die Formel
> [mm]arctan\bruch({Gegenkath}{Ankathe})+2\pi[/mm] kann ich mir selbst
> herleiten.
> In Einzelschritten jedoch ist die Rechnung falsch.
> Ansich kein Problem, da ja klar ist, dass der gesuchte
> Winkel eher nicht 405° betragen wird, aber mich störts
> trotzdem.
>
Da z im 4. Quadranten liegt muß [mm]270^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}[/mm] sein.
Rechnerisch ergibt sich [mm]\alpha=-45^{\circ}[/mm]
Soll der Winkel im oben angegebenen Intervall liegen,
so addiere [mm]360^{\circ}[/mm] hinzu.
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 23.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Danke vielmals :)
Das hat meine Frage geklärt.
Grüße
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> Hallo.
>
> Mit tan [mm]\alpha= \bruch{a}{b}[/mm] ist gemeint tan [mm]\alpha\ =\ \bruch{Gegenkathete}{Ankathete}[/mm]
Na, das ist wohl klar.
Aber es ging mir darum, was du im vorliegenden Fall
bei den komplexen Zahlen mit a und b meinst. Üblicher-
weise schreibt man doch
$\ z\ =\ a+b*i$
Wenn du dann den Polarwinkel dieser Zahl z mit [mm] \alpha [/mm]
bezeichnest, so gilt eben nicht [mm] $tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] ,
sondern
[mm] $tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{b}{a}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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> Sei z=1+i.
> Was ist argz?
> Hallo.
> Ich soll die oben gestellte Aufgabe erledigen und hab
> folgendes Problem.
>
> Über dem 1+i ist ein vertikaler Strich
du meinst wohl einen horizontalen (waagrechten)
Strich:
$\ z\ =\ [mm] \overline{1+i}$
[/mm]
> gezogen worden,
> wobei ich jedoch nicht weiß, wofür der steht.
> Ich meine mich zu erinnern, dass es sich dabei um die
> konjugierte komplexe Zahl handelt?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Ja, genau das meinte ich.
Ich war etwas in Eile, da passiert mir sowas leider manchmal :D.
Danke für den Quellcode (falls man das so bezeichnet). Ich wusste vorher nicht genau, wie das funktioniert.
Grüße
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