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Polstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Mi 22.12.2021
Autor: Trikolon

Aufgabe
Wahr oder falsch?
Wenn für das Nennerpolynom q(x) einer gebroch-rationalen Funktion mit vollständig gekürztem Funktionsterm gilt: [mm] q(x_0 [/mm] )=0, dann hat der Graph von f bei [mm] x_0 [/mm] eine senkrechte Asymptote.

Hallo,
ich würde meinen die Aussage wäre richtig, oder? Normal bräuchte man ja noch, dass das Zählerpolynom an der Stelle [mm] x_o [/mm] nicht Null ist. Aber aufgrund des Zusatzes, dass der Funktionsterm vollständig gekürzt ist, fällt mir kein Gegenbeispiel ein.

        
Bezug
Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Mi 22.12.2021
Autor: fred97


> Wahr oder falsch?
>  Wenn für das Nennerpolynom q(x) einer gebroch-rationalen
> Funktion mit vollständig gekürztem Funktionsterm gilt:
> [mm]q(x_0[/mm] )=0, dann hat der Graph von f bei [mm]x_0[/mm] eine senkrechte
> Asymptote.
>  Hallo,
>  ich würde meinen die Aussage wäre richtig, oder? Normal
> bräuchte man ja noch, dass das Zählerpolynom an der
> Stelle [mm]x_o[/mm] nicht Null ist. Aber aufgrund des Zusatzes, dass
> der Funktionsterm vollständig gekürzt ist, fällt mir
> kein Gegenbeispiel ein.


Sei $f(x)= [mm] \frac{p(x)}{q(x)}$, [/mm] wobei $q$ ein Polynom vom Grade m sei und $p$ ein Polynom.

Ist [mm] $q(x_0)=0,$ [/mm] so gibt es ein $n [mm] \le [/mm] m$ mit [mm] $q(x)=(x-x_0)^n q_1(x),$ [/mm] wobei [mm] q_1 [/mm] ein Polynom vom Grade $m-n$ ist und [mm] $q_1(x_0) \ne [/mm] 0$ ist

Dann haben wir $f(x)= [mm] \frac{p(x)}{(x-x_0)^nq_1(x)}$. [/mm]

Dies sei der vollständig gekürzte Funktionsterm. Nun nehmen wir an, $p$ hätte in [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle. Dann hätten wir:

[mm] $p(x)=(x-x_0)p_1(x) [/mm] $ mit einem Polynom [mm] p_1. [/mm] Es ergibt sich:

$f(x)= [mm] \frac{(x-x_0)p_1(x)}{(x-x_0)^nq_1(x)}$. [/mm]

Damit wäre der Funktionsterm nicht vollständig gekürzt, Widerspruch !

Somit ist [mm] $p(x_0) \ne [/mm] 0$ und damit

    $ [mm] \lim_{x \to x_0}|f(x)| [/mm] = [mm] \infty.$ [/mm]

Dann hat der Graph von f bei $ [mm] x_0 [/mm] $ eine senkrechte Asymptote.

Die Aussage ist also richrig.

Bezug
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