Polstelle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 So 12.12.2010 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ob die folgenden drei Funktionen von fi : R\ {1} ! R im
Punkt 1 eine Polststelle (mit oder ohne Vorzeichenwechsel?) haben oder stetig fortsetzbar
sind.
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1}
[/mm]
[mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{2}-2x+1} [/mm] |
Ich habe herausgefunden, dass an der Stelle eine Polstelle existiert, an der der Nenner gleich 0 ist.
Dementsprechend ist die Aufgabe die Nenner = 0 zu setzen.
In allen 3 Funktionen ist dann x = 1
heißt das jetzt, dass alle 3 Funktionen an der Stelle x = 1 eine Polstelle haben?
Wie kann ich ermitteln, ob es mit oder ohne VZW ist und wie erklär ich die stetige Fortsetzbarkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wir hatten hier schon mal eine ähnliche Diskussion.
Vielleicht hilft dir meine dortige Antwort weiter.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 So 12.12.2010 | | Autor: | Brandon |
Das hat mich jetzt noch mehr verwirrt ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
das war ja nun nicht meine Absicht, aber ich weiß nicht, ob ich es viel besser erklären kann.
> Ich habe herausgefunden, dass an der Stelle eine Polstelle existiert, an der der Nenner gleich 0 ist.
Das ist so nicht ganz richtig.
Zunächst einmal ist die Funktion an den Nullstellen des Nenners nicht definiert. Diese Definitionslücken durch Nullsetzen des Nenners zu suchen ist richtig, und dein Ergebnis stimmt auch, übrigens war das ja auch schon in der Aufgabenstellung so angegeben.
Nun können Polstellen tatsächlich nur an solchen Definitionslücken auftreten, allerdings müssen aber umgekehrt solche Definitionslücken nicht zwangsläufig Polstellen sein.
Für das Weitere ist folgender Satz von entscheidender Bedeutung :
"Wenn eine rationale Funktion (=Polynom) f eine Nullstelle [mm] x_0 [/mm] hat, dann lässt sich f(x) ohne Rest durch [mm] (x-x_0) [/mm] dividieren." (Die Polynomdivision geht auf.) Mit anderen Worten : Wenn [mm] x_0 [/mm] Nullstelle von f ist, dann gibt es ein Polynom g mit [mm] g(x_0)\not=0 [/mm] , so dass sich f(x) schreiben lässt als f(x) = [mm] (x-x_0)^r*g(x) [/mm] (die natürliche Zahl r wird "Vielfachheit der Nullstelle" genannt).
Diesen Satz wendet man nun auf das Zählerpolynom und auf das Nennerpolynom der gebrochen rationalen Funktion f(x) = [mm] \bruch{z(x)}{n(x)} [/mm] an und erhält f(x) = [mm] \bruch{(x-x_0)^p*z_1(x)}{(x-x_0)^q*n_1(x)}
[/mm]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten :
Erstens : [mm] p\ge [/mm] q
In diesem Fall kann man [mm] (x-x_0)^q [/mm] vollständig kürzen und erhält [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] \bruch{(x-x_0)^{p-q}*z_1(x)}{n_1(x)}
[/mm]
Diese Funktion [mm] f_1 [/mm] hat bei [mm] x_0 [/mm] keine Nullstelle mehr im Nenner, sie ist die stetige Fortsetzung von f.
Zweitens : p<q
In diesem Fall bleibt [mm] x-x_0 [/mm] nach Kürzen im Nenner stehen : f(x) = [mm] \bruch{z_1(x)}{(x-x_0)^{q-p}*n_1(x)}
[/mm]
Die Funktion f hat in diesem Fall bei [mm] x_0 [/mm] eine Polstelle und zwar eine solche mit VZW, falls q-p ungerade ist und eine Polstelle ohne VZW falls q-p gerade ist.
Gruß Sax.
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