Polstelle - hebbar oder nicht? < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 28.03.2006 | | Autor: | janty |
| Aufgabe | geg.:
f(x) = [mm] \bruch{0,5x^{2} + 2x - 5}{x - 2}
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktion auf Asymptoten! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe bei der obigen Aufgabe eine Polynomdivision durchgeführt und kam dadurch auf die schiefe Asymptote g(x):
g(x) = 0,5x + 3
Nun ging es noch darum, ob es Polstellen gibt. Hierzu habe ich den Nenner der Funktion = 0 gesetzt:
x - 2 = 0 , d.h.
x = 2
Also liegt an der Stelle x = 2 eine Polstelle vor. Soweit, so gut. Aber jetzt ist die Frage, ob die Polstelle hebbar ist oder nicht (und mit Vorzeichenwechsl oder ohne). Laut Aufgabenlösung besteht an der Stelle eine hebbare Definitionslücke....aber warum? Ich dachte eine hebbare Definitionslücke bedeutet, dass die Nullstelle des Nenners auch eine Nullstelle des Zählers ist (sprich wenn ich x=2 in den Zähler einsetzen würde müsste ebenfalls 0 rauskommen, dem ist aber nicht so...). Oder liege ich da falsch?
Wie untersuche ich eine Polstelle sicher darauf, was für eine Polstelle (hebbar etc..) sie ist?
Zerbrech mir da echt grade den Kopf drüber und über Hilfe würde ich mich freuen.
Vielen Dank schonmal im Voraus,
Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Di 28.03.2006 | | Autor: | GorkyPark |
Hallo,
schau doch bitte in der Lösung nach. Es handelt sich hier nicht um eine hebbare Definitionslücke sondern es ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel...
(Mach eine Skizze vielleicht...)
Polstellen und Definitionslücken kann man so herausfinden wie du es beschrieben hast. Wenn der Bruch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] lautet, ist es eine Definitionslücke die hebbar ist.
Ciao
Gorky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 28.03.2006 | | Autor: | janty |
Hallo Gorky,
vielen Dank für deine Hilfe!
ich hab nochmal in der Lösung nachgeschaut und da steht wirklich "hebb. Definitionslücke", aber das ist dann wohl ein Fehler.
Ich hätte noch 2 kleine Rückfragen:
Dass die Polstelle mit VZW ist, wie hast du das ausgerechnet?
(x von links und rechts gegen 2 laufen lassen??)
Und zum zweiten, ich hab mir eine Skizze gemacht...
gehen Funktionen im Bereich der Polstelle immer gegen + oder - [mm] \infty?
[/mm]
und wie soll man sich eine hebbare Lücke graphisch vorstellen?
LG und danke nochmal,
Laura
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Hallo Laura,
ja ich hab ein bisschen gemogelt und den Pol durch einen Plot gefunden.
Zu Frage 1: ja, du näherst dich einfach der nicht definierten Stelle von links und rechts an. Ist das Ergebnis auf beiden Seiten gleich (d.h. [mm] -\infty [/mm] und - [mm] \infty [/mm] oder [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty), [/mm] so ändert sich das Vorzeichen nicht...
Ansonsten gibt es einen Vorzeichenwechsel.
Es gibt aber sicherlich noch andere Möglichkeiten zum VZW, die die anderen Mitglieder hier wissen.
Zu Frage 2: Pole sehen immer so aus und steigen/sinken ins Unendliche je näher man sich der nicht definierten Stelle befindet.
Die hebbare Definitionslücke musst du dir einfach wie ein Loch für diesen (nicht definierten) x-Wert vorstellen. Die Funktion läuft regelmässig hat aber dann einfach eine kleine Lücke.
Bsp.: f(x)= [mm] \bruch{ x^{2}-5x+6}{x-2}
[/mm]
bei x=2 ist eine hebbare Definitonslücke, d.h. [mm] \limes_{x\rightarrow\2}f(x) [/mm] =-1 (wenn x gegen 2 zugeht, ich kann die Formel nicht schreiben  )
Du kommst folgendermassen drauf:
f(x) kann durch (x-2) gekürzt werden und man erhält x-3. Bei x=2, ist y=-1 (=hebbare Lücke)
BYe Bye
Gorky
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