Polstelle bestimmen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 25.09.2007 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | | Polstelle bestimmen der Gleichung: f(x) = [mm] \bruch{x^{4}-8x²+16}{2x²} [/mm] |
Also, wir sollen die Polstelle bestimmen, ich weiß aber nicht warum, habe aber die Lösung:
Linearfaktorzerlegung:
[mm] \bruch{(x-2)²*(x+2)²}{2x²}
[/mm]
Polstellen:
2x² = 0
Senkrechte Asymptote für x = 0 ohne Vorzeichenwechsel, da die Nennernullstelle einen geraden Grad besitzt.
Das ist die Lösung, aber wie kommt man auf diese Lösung?
viele liebe Grüße
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Hallo krueemel!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, die nicht gleichzeitig auch Nullstellen des Zählers sind.
Da hier die Nullstelle im Nenner wegen [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] als doppelte Nullstelle (= gerader Grad) auftritt, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Bei einem ungeraden Grad wäre die Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 25.09.2007 | | Autor: | krueemel |
> Hallo krueemel!
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> Polstellen sind die Nullstellen des Nenners,
> die nicht gleichzeitig auch Nullstellen des Zählers sind.
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> Da hier die Nullstelle im Nenner wegen [mm]x^{\red{2}}[/mm] als
> doppelte Nullstelle (= gerader Grad) auftritt, handelt es
> sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
>
> Bei einem ungeraden Grad wäre die Polstelle mit
> Vorzeichenwechsel.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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Ah okay, verstehe, aber warum ist es nun eine senkrechte Asymptote bei x = 0 ?
Und was passiert, wenns es gerade und ungerade Grade gibt?
viele liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Schalk |
Hallo krueemel,
wie Roadrunner schon richtig schrieb, erhält man die Polstellen, indem man den Nenner gleich null setzt. Bei der Funktion, die Du angegeben hast, ist das [mm] 2x^{2}. [/mm] Wenn Du das gleich null setzt, gibt es nur eine Lösung, nämlich x=0. An dieser Stelle ist sozusagen eine "Lücke". Da eine Funktion so definiert ist, dass zu jedem x-Wert genau ein Y-Wert zugeordnet wird, ist die Stelle 0 eine senkrechte Asymptote. D. h. für den x-Wert 0 gibt es keinen Y-Wert (Daher ist die Asymptote senkrecht!).
Der Grad des Nenners, d. h. die Höhe der Potenz, hat etwas mit der Charaktereigenschaft der Polstelle zu tun. Wie Roadrunner schon schrieb, kann dies mit oder ohne Vorzeichenwechsel sein.
Ich hoffe, dass Deine Fragen beantwortet sind.
Schöne Grüße
Schalk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mi 26.09.2007 | | Autor: | krueemel |
Vielen lieben Dank euch beiden =)
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