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Forum "Rationale Funktionen" - Polstellen/Definitionslücken
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Polstellen/Definitionslücken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 So 09.02.2020
Autor: appo13

Aufgabe
Untersuche die Funktion auf Polstellen:
[mm] (4x^2):(x^2 [/mm] - 4x)

Hallo zusammen: Ich bin heute auf diese Aufgabe gestoßen und habe versucht Sie mit Hilfe des Lambacher Schweizer zu lösen. Dort gab es eine ähnliche Beispielaufgabe, in denen die Lösungen von Nenner und Zähler teilweise übereinstimmen. Für diesen Fall sollte man die Funktion in Linearfaktoren darstellen und dann kürzen. Wenn beim kürzen der Nenner wegfällt, und z.B. nur noch eine Geradengleichung wie x+2 dasteht, würde es sich dann um eine Definitionslücke handeln, ohne Polstelle.

So bin ich auch hier vorgegangen. Nach dem kürzen steht noch folgendes da: x : (x-4). Somit wäre x=0 also eine Polstelle, was aber nach Überprüfung des Verhaltens in der Nähe von 0 nicht stimmen kann. Also mache ich ja ganz offensichtlich etwas falsch.

Vielleicht kann mich jemand da aufklären.

        
Bezug
Polstellen/Definitionslücken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:21 Mo 10.02.2020
Autor: HJKweseleit


> Untersuche die Funktion auf Polstellen:
>  [mm](4x^2):(x^2[/mm] - 4x)
>  Hallo zusammen: Ich bin heute auf diese Aufgabe gestoßen
> und habe versucht Sie mit Hilfe des Lambacher Schweizer zu
> lösen. Dort gab es eine ähnliche Beispielaufgabe, in
> denen die Lösungen von Nenner und Zähler teilweise
> übereinstimmen. Für diesen Fall sollte man die Funktion
> in Linearfaktoren darstellen und dann kürzen. Wenn beim
> kürzen der Nenner wegfällt, und z.B. nur noch eine
> Geradengleichung wie x+2 dasteht, würde es sich dann um
> eine Definitionslücke handeln, ohne Polstelle.
>
> So bin ich auch hier vorgegangen. Nach dem kürzen steht
> noch folgendes da: x : (x-4).

[ok]

> Somit wäre x=0 also eine Polstelle,   [notok]



x=0 ist eine Nullstelle des Nenners. Nach dem Kürzen aber nicht mehr. Das bedeutet, dass sich dort eine Definitionslücke befindet, die sich aber schließen lässt. Der gekürzte Term liefert für x=0 den Funktionswert 0, mit dem du die Definitionslücke stetig schließen kannst.

Die Polstellen sind dann die Nullstellen im Nenner des gekürzten Terms, hier also x=4.


was aber nach Überprüfung des Verhaltens in

> der Nähe von 0 nicht stimmen kann. Also mache ich ja ganz
> offensichtlich etwas falsch.
>
> Vielleicht kann mich jemand da aufklären.  


Bezug
                
Bezug
Polstellen/Definitionslücken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mo 10.02.2020
Autor: appo13

Danke sehr schon mal für die Antwort.

Das bedeutet also, dass ich auf jeden Fall eine Definitionslücke habe, wenn ein Ergebnis im Zähler und Nenner gleich ist.
Gibt es denn ein Szenario, in welchem Zähler und Nenner eine gleiche Lösung haben, somit eine Definitionslücke vorliegt, aber KEINE hebbare Lücke, sondern eine Polstelle mit senkrechter Asymptote?

Wenn ich z.B. meine Funktion nehme und Zähler/Nenner vertausche. Dann habe im Zähler 0 und 4 als Ergebnis, im Nenner aber zwei mal 0 und könnte somit die Definitionslücke nicht schließen, weil sich das Ergebnis nicht komplett herauskürzt. Was würde dann passieren?



Bezug
                        
Bezug
Polstellen/Definitionslücken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mo 10.02.2020
Autor: fred97

Ich möchte Dir mal so antworten: gegeben seien zwei ganzrationale Funktionen p und q un es sei

$f:= [mm] \frac{p}{q}.$ [/mm]

Weiter sei [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle von q.

Fall 1: [mm] x_0 [/mm] ist keine Nullstelle von p. Dann hat f in [mm] x_0 [/mm] einen Pol.

Fall 2: [mm] x_0 [/mm] ist auch eine Nullstelle von p. Die Ordnung von [mm] x_0 [/mm] als Nullstelle von q sei n und  die Ordnung von [mm] x_0 [/mm] als Nullstelle von p sei m. D.h.: es gibt  ganzrationale Funktionen [mm] p_1 [/mm]  und [mm] q_1 [/mm] mit:

   [mm] p(x)=(x-x_0)^mp_1(x), q(x)=(x-x_0)^nq_1(x) [/mm] und  [mm] p_1(x_0) \ne [/mm] 0 [mm] \ne q_1(x_0). [/mm]

Dann ist

  $f(x)= [mm] \frac{(x-x_0)^m p_1(x)}{(x-x_0)^nq_1(x)}.$ [/mm]

Nun sieht man: ist m [mm] \ge [/mm] n, so hat f in [mm] x_0 [/mm] eine Definitionslücke, ist dagegen m<n, so f in [mm] x_0 [/mm] einen Pol.



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