Polyeder bestimmen < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Es seien P=(1,-1,1), Q=(2,0,1), R=(2,1,1), S=(0,0,0) vier Punkte im [mm] R^3, [/mm]
Bestimme ein linears Ungl.system Ax<=b mit der Eigenschaft:
[mm] P(A,b)={\overline{PQRS}} [/mm] |
Guten Morgen,
ich suche ja einen Polyeder P(A,b)={xaus [mm] R^3, [/mm] Ax<=b}, der die obige Eigenschaft besitzt. Die Eigenschaft ist doch, dass es eine Strecke oder Verbindungslinie der vier Punkte gibt, oder? Bin hier ein bisschen übefragt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 21.04.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es seien P=(1,-1,1), Q=(2,0,1), R=(2,1,1), S=(0,0,0) vier
> Punkte im [mm]R^3,[/mm]
> Bestimme ein lineares Ungl.system Ax<=b mit der Eigenschaft:
> [mm]P(A,b)=\overline{PQRS}[/mm]
> ich suche ja einen Polyeder P(A,b)={x [mm] \in R^3, [/mm] Ax <= b }, der
> die obige Eigenschaft besitzt. Die Eigenschaft ist doch,
> dass es eine Strecke oder Verbindungslinie der vier Punkte
> gibt, oder? Bin hier ein bisschen übefragt.
Die Eigenschaft ist, daß das Polyeder P(A,b) die konvexe Hülle der 4 Punkte ist, also daß die Punkte gerade die Ecken des Polyeders sind. Eine Strecke wird das eher nicht sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo Dieter,
habe es mir gerade mal gezeichnet. Es sieht auch aus wie ein Polyeder  und es sind genau der Rand, als konvexe Hülle kann ich mir vorstellen.
Also ist [mm] \overline{QRST} [/mm] dann die konvexe Hülle?
Hast du vllt. einen Tipp, wie man hier vorgeht, um A und b zu finden?
Ich denke, dass ich irgendeine Eigenschaft dieser Menge brauche, um A und b zu bestimmen.
Bisher hatte ich die Menge mit einer best. Eigenschaft und habe dann die konvexe Hülle bestimmt.
Drei Punkte haben ja den [mm] x_3-Wert [/mm] eins, das ist doch meine Höhe, oder? Kann ich damit was anfangen?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Bin leider mit der Aufgabe überfordert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 22.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Ding ist doch ein tetraeder, die Ebenengleichungen der Seitenflächen ( in Koordinatenform) sollten dich zu deinem Ungleichungssystem führen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hey,
ich habe vier Ebenen, die ich durch einen Ebenengleichung in Koordinatenform darstellen kann.
Kannst du mir das erklären, also wie ich diese Gleichungen aufstelle?
Der Normalenvektor ist ja das Kreuzprodukt zweier anderen Vektoren.
Nehme ich dann alle vier Punkte jeweils als Kreuzprodukt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie man ne ebenengl durch drei Punkte findet weisst du nicht?
Kreuzprodukt von 2 Ortsvektoren (Punkten) hilft dir dabei wenig, Kreusprodukt von 2 Vektoren in der Ebene gibt die Normale.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 25.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi, danke.
Ja, ich weiß es leider nicht, ist bei mir schon sehr, sehr lange her.
Ich zeig dir mal, wie ich es gemacht habe:
Ich habe vier Dreiecke als Ebene.
Die Ebene durch OPQ:
OP=(2,0,1)
OQ=(2.-1.1)
Der Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt:
OPxOQ=(1,-1,-2)
Es ergibt sich als Gleichung:
[mm] x_1-x_2-2x_3=d
[/mm]
jetzt kann ich einen Punkt einsetzen, zb. den (0,0,0), dann kommt d=0
als weitere Gleichungen gibt es noch:
Normalenvektor von POxPQ und QOxQP
dann komme ich aber auf drei Gleichungen?
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> Ich zeig mal, wie ich es gemacht habe:
> Ich habe vier Dreiecke als Ebene.
> Die Ebene durch OPQ:
> OP=(2,0,1) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> OQ=(2.-1.1)
> Der Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt:
> OPxOQ=(1,-1,-2)
> Es ergibt sich als Gleichung:
> [mm]x_1-x_2-2x_3=d[/mm]
> jetzt kann ich einen Punkt einsetzen, zb. den (0,0,0),
> dann kommt d=0
> als weitere Gleichungen gibt es noch:
> Normalenvektor von POxPQ und QOxQP
> dann komme ich aber auf drei Gleichungen?
>
Hallo Katrin89,
in deiner ursprünglichen Aufgabe hattest du das Tetraeder PQRS mit
P=(1,-1,1), Q=(2,0,1), R=(2,1,1), S=(0,0,0)
Nun benützt du aber neu einen gewissen Punkt O (der aber offenbar
doch nicht mit dem Nullpunkt S übereinstimmt ...).
Bleiben wir besser bei den gegebenen Bezeichnungen und
betrachten die Ebene [mm] E_1 [/mm] durch S, P und Q. Ein Normalenvektor
dieser Ebene [mm] E_1 [/mm] ist dann z.B.:
[mm] $\vec{n}_1\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{SP}\times\overrightarrow{SQ}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\-1\\1}\times\pmat{2\\0\\1}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-1\\1\\2}$
[/mm]
[mm] E_1 [/mm] hat also die Gleichung
[mm] E_1: -x+y+2\,z=0 [/mm]
(da insbesondere S(0/0/0) in [mm] E_1 [/mm] liegt).
Diese Gleichung entspricht übrigens deiner - nur habe ich
nicht begriffen, wie du darauf gekommen bist.
Der weitere Weg ist nun folgender: Da PQRS ein Tetraeder ist,
ist es durch seine vier Seitenebenen eingegrenzt. Eine erste
davon ist [mm] E_1. [/mm] Das gesamte Tetraeder (Vollkörper) liegt auf
einer Seite der Ebene [mm] E_1, [/mm] nämlich auf jener, in der der Punkt
R(2/1/1) liegt. Setzen wir also seine Koordinaten in die Gleichung
von [mm] E_1 [/mm] ein:
[mm] $-x+y+2\,z\ [/mm] =\ -2+1+2*1\ =\ 1$
Natürlich erfüllt R die Ebenengleichung nicht (muss er auch
nicht), denn er liegt ja nicht in [mm] E_1. [/mm] Wichtig ist nur das Vorzeichen
der berechneten Zahl: 1 ist positiv. Auf der gleichen Seite der
Ebene [mm] E_1 [/mm] wie der Punkt liegen nun alle Punkte [mm] P(x/y/z)\in\IR^3
[/mm]
mit [mm] $-x+y+2\,z\ \ge [/mm] 0$ . Damit haben wir die erste von insgesamt
4 Ungleichungen, die nötig sind, um das Tetraeder zu beschreiben.
Nun geht man mit den anderen drei Seitenebenen des Tetraeders
einfach ganz analog um und kommt so auf ein Ungleichungssystem
aus 4 linearen Ungleichungen im [mm] \IR^3 [/mm] , welche man dann ev. in
Matrixform zusammenfassen kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 25.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi, danke.
Oh sorry, hatte mich da mit den Bezeichnungen vertan.
Ich habe eine Frage:
"Natürlich erfüllt R die Ebenengleichung nicht (muss er auch
nicht), denn er liegt ja nicht in [mm] E_1. [/mm] verstanden
Wichtig ist nur das Vorzeichen
der berechneten Zahl: 1 ist positiv. Auf der gleichen Seite der
Ebene [mm] E_1 [/mm] wie der Punkt liegen nun alle Punkte x,y,z.
Verstehe ich leider nicht, kannst du mir das bitte noch einmal ausführlicher erklären oder anschaulicher?
Danke
mit .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 25.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach selber überlegen. für die Normale hast du ne willkürliche + richtung gewählt. in Gegenrichtung natürlich auch. Was kriegst du denn raus, wenn du nen Punkt, der nicht in der ebene liegt einsetzest? wenn du einen Punkt auf der einen und einen auf der anderen Seite einsetzt?
gruss leduart
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> Hi, danke.
> Oh sorry, hatte mich da mit den Bezeichnungen vertan.
>
> Ich habe eine Frage:
>
> "Natürlich erfüllt R die Ebenengleichung nicht (muss er
> auch
> nicht), denn er liegt ja nicht in [mm]E_1.[/mm] verstanden
>
> Wichtig ist nur das Vorzeichen
> der berechneten Zahl: 1 ist positiv. Auf der gleichen
> Seite der
> Ebene [mm]E_1[/mm] wie der Punkt liegen nun alle Punkte x,y,z.
Vollständig hieß es:
Auf der gleichen Seite der Ebene [mm] E_1 [/mm] wie der Punkt liegen nun
alle Punkte [mm] P(x/y/z)\in\IR^3 [/mm] mit [mm] $-x+y+2\,z\ \ge [/mm] 0$ .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Danke euch beiden.
Habe die Ebenen jetzt aufgestellt.
Viele Grüße
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