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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Do 08.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich hab da folgende Aufgabe mit der ich leider gar nichts anfangen kann: Ein Polygon in [mm] \IR^{d} [/mm] werde definiert als ein ( n+1) -tupel [mm] P_{n}= (p_{1}, [/mm] ..., [mm] p_{n} [/mm] ) mit [mm] p_{k} \in \IR^{d}. [/mm] Die Länge des Polygons [mm] P_{n} [/mm] ist definiert als
[mm] L(P_{n}):=\summe_{k=1}^{n} \vmat{ p_{k} - p_{k-1} }
[/mm]
Man skizziere [mm] P_{n} \subset \IR^{2} [/mm] für
[mm] p_{k}=( [/mm] cos( 2 [mm] \pi \bruch{k}{n}),sin [/mm] ( 2 [mm] \pi \bruch{k}{n})) [/mm] ( k= 0,....n)
und berechne [mm] L(P_{n}); [/mm] sodann untersuche man [mm] L(P_{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
Das einzige was ich in Erfahrung bringen konnte ist das ein Polygon ein Vieleck ist!!! Wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!!!
Liebe Grüße
tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tine
> Hallo,
> ich hab da folgende Aufgabe mit der ich leider gar nichts
> anfangen kann: Ein Polygon in [mm]\IR^{d}[/mm] werde definiert als
> ein ( n+1) -tupel [mm]P_{n}= (p_{1},[/mm] ..., [mm]p_{n}[/mm] ) mit [mm]p_{k} \in \IR^{d}.[/mm]
Ich denke, hier sollte der Index mit [mm] $p_0$ [/mm] beginnen, mit der Konvention, dass [mm] $p_0 [/mm] = [mm] p_n$ [/mm] ist! Das sind also einfach $n$ Punkte im Raum.
> Die Länge des Polygons [mm]P_{n}[/mm] ist definiert als
>
> [mm]L(P_{n}):=\summe_{k=1}^{n} \vmat{ p_{k} - p_{k-1} }
[/mm]
>
Dies heisst also, dass man von jeweils 2 benachbarten Punkten (benachbart in dem Sinne, dass ihr Index sich nur um der Wertz $1$ unterscheidet) den Abstand misst und alle Abstände summiert.
Mit anderen Worten: es wird ein n-Eck gezeichnet, und man misst den Umfang dieses n-Ecks. Die [mm] $p_k$ [/mm] sind die Ecken des n-Ecks.
> Man skizziere [mm]P_{n} \subset \IR^{2}[/mm] für
> [mm]p_{k}=([/mm] cos( 2 [mm]\pi \bruch{k}{n}),sin[/mm] ( 2 [mm]\pi \bruch{k}{n}))[/mm]
> ( k= 0,....n)
> und berechne [mm]L(P_{n});[/mm] sodann untersuche man [mm]L(P_{n})[/mm] für
> n [mm]\to \infty
[/mm]
Mache also folgendes: zeichne ein Koordinatensystem (x- und y-Achse) und nimm mal ein beliebiges Beispiel. Setze also zum Beispiel $n=4$.
Jetzt nimmst du $k=0$ und berechnest den Punkt [mm] $p_0$. [/mm] Also:
[mm] $p_{0} [/mm] = [mm] (\cos (2\pi*\bruch{0}{4}),\sin (2\pi*\bruch{0}{4})) [/mm] = [mm] (\cos (0),\sin [/mm] (0)) = (1,0)$
Dann noch mit $k=1$:
[mm] $p_{1} [/mm] = [mm] (\cos (2\pi*\bruch{1}{4}),\sin (2\pi*\bruch{1}{4})) [/mm] = [mm] (\cos (\bruch{\pi}{2}),\sin (\bruch{\pi}{2})) [/mm] = (0,1)$
..und $k=2$:
[mm] $p_{2} [/mm] = [mm] (\cos (2\pi*\bruch{2}{4}),\sin (2\pi*\bruch{2}{4})) [/mm] = [mm] (\cos (\pi),\sin (\pi)) [/mm] = (-1,0)$
Ebenfalls mit $k=3$
[mm] $p_{3} [/mm] = [mm] (\cos (2\pi*\bruch{3}{4}),\sin (2\pi*\bruch{3}{4})) [/mm] = [mm] (\cos (\bruch{3\pi}{2}),\sin (\bruch{3\pi}{2})) [/mm] = (0,-1)$
..und last, but really least $k=4$:
[mm] $p_{4} [/mm] = [mm] (\cos (2\pi*\bruch{4}{4}),\sin (2\pi*\bruch{4}{4})) [/mm] = [mm] (\cos (2\pi),\sin (2\pi)) [/mm] = (1,0)$
Womit [mm] $p_{4}$ [/mm] mit [mm] $p_{0}$ [/mm] zusammenfällt.
Wenn du die Punkte in der Reihenfolge, wie du sie gezeichnet hast, miteinander verbindest, dann entsteht ein regelmässiges Viereck, sprich: ein Quadrat.
Jetzt schlage ich dir vor, das doch mal mit $n=6$ zu versuchen. 
Ich denke, jetzt stellst du fest, dass du so ein regelmässiges n-Eck erhältst, dessen Ecken auf dem Einheitskreis liegen.
Gesucht ist jetzt also nur noch die Formel für den Umfang des n-Ecks in Abhängigkeit von $n$. Hinweis: verbinde die Eckpunkte mit dem Zentrum des n-Ecks und betrachte die Winkel im Zentrum.
Und du ahnst es schon: wenn $n$ gross gewählt wird, ähnelt das n-Eck schon recht gut dem Kreis, der gesuchte Limes sollte also eine recht berühmte Zahl ergeben!  (Oder das Doppelte davon )
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Fr 09.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ja die winkel sind alle gleich. Aber wie bekomme ich denn daraus eine Formel für den Umfang?
Wie kann ich denn da mit einer Formel die Strecke bestimmen?
Wär lieb wenn mir noch jemand helfen könnte!!
Liebe Grüße,
tine
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Die Winkel sind alle gleich. Aber wie gross sind sie denn?
