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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Polynom
Polynom < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Polynom: Polynome und Identität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Di 06.10.2009
Autor: radioactive

Aufgabe
Teilaufgabe a

Man zeige: Falls für das Polynom P(x,y) die Identität

(1) P(x-1, y-2x+1)=P(x,y)

gilt, so existiert ein Polynom R(x), so dass

(2) [mm] P(x,y)=R(y-x^2). [/mm]

Teilaufgabe b

Man finde alle Polynome P(x,y), die der Gleichung

(3) P(x-1, y-2x-1)=P(x,y)

genügen.

Achtung: Gleichung (3) unterscheidet sich von Gleichung (1).

Also, ich sitze an einen mathematisches Problem wo ich einfach nicht weiterkomme, da ich mehrere Tage und Nächte schon dran saß wie ich es beweisen könnte. Daher bitte ich jemanden mir diese Aufgabe zu lösen, damit ich bei anderen Aufgaben dieser Art besser zurecht komme.

PS.: Es könnte hilfreich sein bei Teilaufgabe a [mm] y=x^2+z [/mm] zu substituieren, aber ich hab danach trotzdem keinen so richtigen Plan gehabt wie ich an die Sache rangehe.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Polynom-62

        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Di 06.10.2009
Autor: abakus


> Teilaufgabe a
>  
> Man zeige: Falls für das Polynom P(x,y) die Identität
>  
> (1) P(x-1, y-2x+1)=P(x,y)
>  
> gilt, so existiert ein Polynom R(x), so dass
>  
> (2) [mm]P(x,y)=R(y-x^2).[/mm]

Hallo,
nur so eine Idee: wenn diese Identität gilt, gilt sie natürlich auch für die Paare (x,y), für die [mm] y=x^2 [/mm] gilt. In diesem Spezialfall gilt also P(x-1, [mm] x^2-2x+1)=P(x^2,x), [/mm] also [mm] P(x-1,(x-1)^2)=P(x,x^2) [/mm] - und das für alle x! Also gilt auch [mm] P(x+1,(x+1)^2)=P(x,x^2) [/mm] und allgemein [mm] P(x+n,(x+n)^2)=P(x,x^2) [/mm] für alle n [mm] \in \IZ. [/mm]
In diesem Fall ist [mm] R(y-x^2)=R(0) [/mm] mit irgendeinem festen Wert. Also müsste auch P(x,y) einen festen (konstanten) Wert haben (was es zumindest für alle [mm] P(x+n,(x+n)^2) [/mm] ja auch hat).
Das ganze muss noch aus der von mir gewählten Einschränkung [mm] y=x^2 [/mm] herausgeführt werden ...
Gruß Abakus

PS: Aus welchem Wettbewerb stammt die Aufgabe?

>  
> Teilaufgabe b
>  
> Man finde alle Polynome P(x,y), die der Gleichung
>  
> (3) P(x-1, y-2x-1)=P(x,y)
>  
> genügen.
>  
> Achtung: Gleichung (3) unterscheidet sich von Gleichung
> (1).
>  Also, ich sitze an einen mathematisches Problem wo ich
> einfach nicht weiterkomme, da ich mehrere Tage und Nächte
> schon dran saß wie ich es beweisen könnte. Daher bitte
> ich jemanden mir diese Aufgabe zu lösen, damit ich bei
> anderen Aufgaben dieser Art besser zurecht komme.
>  
> PS.: Es könnte hilfreich sein bei Teilaufgabe a [mm]y=x^2+z[/mm] zu
> substituieren, aber ich hab danach trotzdem keinen so
> richtigen Plan gehabt wie ich an die Sache rangehe.
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Polynom-62


Bezug
                
Bezug
Polynom: Aufgabenquelle
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:17 Di 06.10.2009
Autor: radioactive

Ja, abakus, das ist eine Mathematik-Olympiadentrainingsaufgabe, die ich von meinem Korrespondenzzirkelleiter bekommen habe.  Er konnte mir es irgendwie nich richtig erklären, von daher musste ich mich an euch wenden. Vielen Dank Abakus^^

Bezug
                        
Bezug
Polynom: Beweis
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:07 Mi 07.10.2009
Autor: radioactive

Abakus, das Problem ist ja, dass man nicht bewiesen hat, ob die festen Werte gleich groß sind

Bezug
                                
Bezug
Polynom: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 09.10.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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