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Forum "Induktionsbeweise" - Polynom
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Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:29 Fr 09.11.2012
Autor: Ferma

Hallo,
wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b) teilbar ist?
Beispiele mit Zahlen [mm] 5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661 [/mm]
Danke im Voraus!
Ferma

        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 09.11.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b)
> teilbar ist?
> Beispiele mit Zahlen [mm]5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661[/mm]

das ist aber "sehr grob" aufgeschrieben, aber ich weiß, was Du meinst. Übrigens
ist das nur EIN Beispiel. ;-)

>  Danke im Voraus!
>  Ferma

Vorschlag: Wenn man keine Idee hat, versuch' mal,
[mm] $$(a^{2n-1}+b^{2n-1}):(a+b)$$ [/mm]
per Polynomdivision zu lösen.

Wenn's nicht klappt oder Du so nichts erkennst/verwirrt bist, nicht siehst, wo diese
Polynomdiviion "endet", mach' es halt mal beispielsweise erst für konkrete [mm] $n\,,$ [/mm]
etwa für [mm] $n=3\,$ [/mm] wie oben (aber [mm] $a,b\,$ [/mm] "allgemein" lassen!), dann mal etwa für [mm] $n=7\,.$ [/mm]

Wenn man dann sieht: Okay, Polynomdivision liefert:
[mm] $$(a^{2n-1}+b^{2n-1}):(a+b)=\text{Vermutung}(n)$$ [/mm]
wobei [mm] $\text{Vermutung}(n)$ [/mm] vermutlich irgendeine Formel ist, wo eine Summe drin
vorkommt, dann beweist man das ganze, indem man mit
[mm] $$(a+b)*\text{Vermutung}(n)$$ [/mm]
startet und dann hoffentlich zeigen kann, dass das am Ende [mm] $=a^{2n-1}+b^{2n-1}$ [/mm]
ergibt!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Fr 09.11.2012
Autor: fred97

Du kannst das auch induktiv erledigen:

Für den Induktionsschritt:

[mm] a^{2n+1}+b^{2n+1}=a^{2n-1}a^2+a^{2n-1}b^2-a^{2n-1}b^2+b^{2n-1}b^2 [/mm]

Mach Du mal weiter.

FRED

Bezug
        
Bezug
Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Fr 09.11.2012
Autor: reverend

Hallo Ferma,

>  wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b)
> teilbar ist?
> Beispiele mit Zahlen [mm]5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661[/mm]

Wenn Du das nur in [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] zeigen willst, ist es ganz einfach.
Wir betrachten das alles mal [mm] \mod{(a+b)}. [/mm]

Dann ist klar, dass [mm] b\equiv -a\mod{(a+b)} [/mm] ist und damit

[mm] a^{2n-1}+b^{2n-1}\equiv a^{2n-1}+(-a)^{2n-1}\equiv 0\mod{(a+b)} [/mm]

Genauso leicht kann man dann zeigen, dass [mm] (a-b)\big|a^n-b^n. [/mm] Aber das war hier ja gar nicht gefragt.

Grüße
reverend



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