Polynom < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 20.10.2013 | | Autor: | LSbc |
| Aufgabe | Sei n Element von N. Finde ein Polynom f(x) mit f(k)(1) = 0, f¨ur alle
k < n, und f(n)(1) = 1. |
Ich finde hier keinem Ansatz. Kann mir jemand bezüglich dessen bzw. der Vorgehensweise bei solchen Aufgaben auf die Sprünge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 20.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei n Element von N. Finde ein Polynom f(x) mit f(k)(1) =
> 0, f¨ur alle
> k < n, und f(n)(1) = 1.
Ist mit f(k)(x) die k-te Ableitung, also [mm] f^{(k)}(x) [/mm] gemeint?
Dann versuche mal mit der "Grundformel"
[mm] f(x)=a\cdot x^{n}-b\cdot x^{n-1}
[/mm]
Diese liefert, wenn du die Formel noch mit der Wahl von a und b "anpasst", die gewünschten Werte.
Drücke also noch a und b (in Abhängigkeit von n) aus.
Versuche dazu zuerst eine "Formel" für die n-te Ableitung von [mm] f(x)=x^{n}-x^{n-1} [/mm] zu finden.
> Ich finde hier keinem Ansatz. Kann mir jemand bezüglich
> dessen bzw. der Vorgehensweise bei solchen Aufgaben auf die
> Sprünge helfen?
Du musst dir hier eigentlich nur überlegen, dass [mm] 1^{k}=1
[/mm]
Damit bekommst du für jede Potenzfunktion [mm] g(x)=x^{k} [/mm] die Bedingung, dass g(1)=1.
Nun ist aber gefordert, dass du für deine Funktion eine Null haben willst, also musst du noch eine 1 subtrahieren.
Des weiteren solltest du wissen, dass [mm] g(x)=x^{k} [/mm] irgendwann eine konstante Ableitung, aber nicht null hat Das passiert nämlich in der k-ten Ableitung)
Jetzt musst du also noch einen Parameter einführen, der den bei der Ableitung von [mm] g(x)=x^{n}, [/mm] also [mm] g'(x)=n\cdot x^{n-1} [/mm] den neu enstehenden "Vorfaktor" immer zu 1 macht.
Marius
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> Sei n Element von N. Finde ein Polynom f(x) mit
> $\ [mm] f^{(k)}(1)\ [/mm] =\ 0$ für alle k mit k < n und [mm] f^{(n)}(1) [/mm] = 1 .
Hallo LSbc
Ich habe die Aufgabe mittels Editor so dargestellt,
wie sie wohl gemeint war.
Ich würde dir vorschlagen, zuerst einmal ein ganz
konkretes Beispiel durchzurechnen, etwa mit n=4.
Überleg dir schrittweise, wie die Ableitungsfunktionen
aussehen könnten, und zwar angefangen bei der
letzten zu betrachtenden Ableitung [mm] f^{(4)}(x) [/mm] und dann
zurück bis zur Funktion f selbst.
Eine gute Idee wäre auch noch, sich zuerst die
Funktion g mit $\ g(x):=f(x-1)$ zur Brust zu nehmen !
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist f ein Polynom vom Grade n und [mm] x_0 \in \IR, [/mm] so gilt:
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
[/mm]
FRED
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