Polynom + Nullstellen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bins wieder.
Ich verstehe die Lösung der folgenden Aufgabe nicht:
Zeigen Sie, dass jedes Polynom p der Form
p(x) = [mm] x^{2n+1} [/mm] + [mm] a_{2n}x^{2n} [/mm] + ... + a_1x + [mm] a_0, a_i \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN,
[/mm]
mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
Hier die Musterlösung:
Behauptung: p ist surjektiv, d.h [mm] p(\IR) [/mm] = [mm] \IR.
[/mm]
Beweis: Sei y [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Setze [mm] \tilde a_0 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] -y und q(x) = p(x) - y = [mm] x^{2n+1} [/mm] + [mm] a_{2n}x^{2n} [/mm] + ... + a_1x + [mm] \tilde a_0.
[/mm]
p nimmt den Wert y an, falls das Polynom q eine Nullstelle besitzt.
Erste Frage: Wieso nimmt p den Wert y an, falls das Polynom q eine Nullstelle besitzt? Angenommen q besitzt eine Nullstelle [mm] x_o, [/mm] dann ist [mm] q(x_0) [/mm] = 0 = [mm] p(x_0) [/mm] - y [mm] \Rightarrow p(x_0) [/mm] = y, will heißen, dass es ein x gibt [mm] (x_0), [/mm] für das p den Wert y hat. Richtig?
Weiter mit der Lösung: Setze [mm] x_2 [/mm] = [mm] |a_{2n}| [/mm] + ... + [mm] |\tilde a_0| [/mm] + 1 und [mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2. [/mm] Dann folgt wegen [mm] x_1, x_2 \ge [/mm] 1 für [mm] x_j, [/mm] j = 1,2 (u.s.w).
Zweite Frage: [mm] x_2 [/mm] ist ja die Summe der Beträge der Koeffizienten von q. Die ist sicher positiv, da ja nur Beträge addiert werden. [mm] -x_2 [/mm] ist ja dann negativ. Es wird ja aber davon ausgegangen, dass [mm] x_1, x_2 \ge [/mm] 1 ist, was ja leider nicht stimmt. Oder?
Der Beweis geht noch weiter aber mich würde erstmal interessieren, was ihr zu meinen beiden Fragen zu sagen habt.
Danke schonmal.
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> Hallo,
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> ich bins wieder.
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> Ich verstehe die Lösung der folgenden Aufgabe nicht:
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> Zeigen Sie, dass jedes Polynom p der Form
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> p(x) = [mm]x^{2n+1}[/mm] + [mm]a_{2n}x^{2n}[/mm] + ... + a_1x + [mm]a_0, a_i \in \IR,[/mm]
> n [mm]\in \IN,[/mm]
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> mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
>
> Hier die Musterlösung:
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> Behauptung: p ist surjektiv, d.h [mm]p(\IR)[/mm] = [mm]\IR.[/mm]
> Beweis: Sei y [mm]\in \IR[/mm] beliebig. Setze [mm]\tilde a_0[/mm] = [mm]a_0[/mm] -y
> und q(x) = p(x) - y = [mm]x^{2n+1}[/mm] + [mm]a_{2n}x^{2n}[/mm] + ... + a_1x
> + [mm]\tilde a_0.[/mm]
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> p nimmt den Wert y an, falls das Polynom q eine Nullstelle
> besitzt.
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> Erste Frage: Wieso nimmt p den Wert y an, falls das Polynom
> q eine Nullstelle besitzt? Angenommen q besitzt eine
> Nullstelle [mm]x_o,[/mm] dann ist [mm]q(x_0)[/mm] = 0 = [mm]p(x_0)[/mm] - y
> [mm]\Rightarrow p(x_0)[/mm] = y, will heißen, dass es ein x gibt
> [mm](x_0),[/mm] für das p den Wert y hat. Richtig?
Hallo,
ja.
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> Weiter mit der Lösung: Setze [mm]x_2[/mm] = [mm]|a_{2n}|[/mm] + ... + [mm]|\tilde a_0|[/mm]
> + 1 und [mm]x_1[/mm] = [mm]-x_2.[/mm] Dann folgt wegen [mm]x_1, x_2 \ge[/mm] 1 für
> [mm]x_j,[/mm] j = 1,2 (u.s.w).
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> Zweite Frage: [mm]x_2[/mm] ist ja die Summe der Beträge der
> Koeffizienten von q. Die ist sicher positiv, da ja nur
> Beträge addiert werden. [mm]-x_2[/mm] ist ja dann negativ. Es wird
> ja aber davon ausgegangen, dass [mm]x_1, x_2 \ge[/mm] 1 ist, was ja
> leider nicht stimmt. Oder?
Ja, [mm] x_1 [/mm] ist negativ, dh. [mm] -x_1 [/mm] ist positiv.
Gruß v. Angela
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Das bedeutet, dass der Beweis so wie da da steht an der Stelle falsch ist?
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Hallo abi2007LK!
Ich muss zugeben, so ganz konnte ich Deinen Beweis nicht nachvollziehen.
Es geht m.E. aber auch viel einfacher. Betrachte [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}p(x)$ [/mm] sowie [mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty}p(x)$ [/mm] und wende anschließend den Zwischenwertsatz an.
Daraus folgt unmittelbar die Existenz (mind.) einer Nullstelle.
Gruß vom
Roadrunner
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Das Problem ist, dass das nicht "meine" Lösung ist sondern die Musterlösung unseres Profs, die ich auch gerne verstehen würde. Da diese aber scheinbar falsch ist werde ich mich mal bei meinen Kollegen erkundigen.
Falls jemand doch weiß, auf was der Beweis abzielt bin ich um jeden Hinweis froh. Bei Bedarf kann ich auch den Rest des Beweises posten.
Sonst bitte diese Frage einfach auslaufen lassen.
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> Das Problem ist, dass das nicht "meine" Lösung ist sondern
> die Musterlösung unseres Profs, die ich auch gerne
> verstehen würde. Da diese aber scheinbar falsch ist werde
> ich mich mal bei meinen Kollegen erkundigen.
>
> Falls jemand doch weiß, auf was der Beweis abzielt bin ich
> um jeden Hinweis froh. Bei Bedarf kann ich auch den Rest
> des Beweises posten.
>
> Sonst bitte diese Frage einfach auslaufen lassen.
Hallo,
ohne daß Du den Beweis postest, wird man nicht entscheiden können, ob er richtig oder falsch ist.
Wenn jemand irgendwo einen kl. Schreibfehler macht, es dann jedoch richtig weitergeht, würde ich nicht von "falsch" sprechen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
hier der restliche Beweis:
[mm] |\tilde a_0 \summe_{i=1}^{2n} a_i x_{j}^{i}| \le |\tilde a_0| [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} |a_i| |x_{j}^{i}| \le |\tilde a_0| [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{2n} |a_i| |x_{j}|^{2n}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] q(x_2) [/mm] = [mm] x_{2}^{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{2n} a_i x_{2}^{j} [/mm] + [mm] \tilde a_0 \ge x_{2}^{2n+1} [/mm] - [mm] |\summe_{i=1}^{2n} a_i x_{2}^{j} [/mm] + [mm] \tilde a_0| [/mm] > [mm] (x_2 [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{2n} |a_j| [/mm] - [mm] |\tilde a_0|) |x_2|^{2n} [/mm] = [mm] |x_2|^{2n} [/mm] > 0.
Analog folgt [mm] q(x_1) \le [/mm] ... < 0
Da Polynome stetig sind folgt aus dem Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle von q. Aus [mm] p(\IR) [/mm] = [mm] \IR [/mm] folgt insbesondere die Existenz einer Nullstelle von p.
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Hallo,
Fakt ist ja, daß es oben heißen mußte [mm] x_2, -x_1> [/mm] 1 bzw. [mm] |x_2|, |x_1|> [/mm] 1
Wo siehst Du denn in dem, was nun kommt, einen Fehler?
> hier der restliche Beweis:
>
> [mm]|\tilde a_0 \summe_{i=1}^{2n} a_i x_{j}^{i}| \le |\tilde a_0|[/mm]
> + [mm]\summe_{i=1}^{2n} |a_i| |x_{j}^{i}| \le |\tilde a_0|[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{2n} |a_i| |x_{j}|^{2n}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]q(x_2)[/mm] = [mm]x_{2}^{2n+1}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{2n} a_i x_{2}^{j}[/mm] +
> [mm]\tilde a_0 \ge x_{2}^{2n+1}[/mm] - [mm]|\summe_{i=1}^{2n} a_i x_{2}^{j}[/mm]
> + [mm]\tilde a_0|[/mm] > [mm](x_2[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{2n} |a_j|[/mm] - [mm]|\tilde a_0|) |x_2|^{2n}[/mm]
> = [mm]|x_2|^{2n}[/mm] > 0.
Bis hierher scheint's mir zu stimmen.
>
> Analog folgt [mm]q(x_1) \le[/mm] ... < 0
Hast Du diesen analogen Schritt denn durchgeführt?
[mm] q(x_1)=q(-x_2) [/mm] = [mm](-x_{2})^{2n+1}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{2n} a_i (-x_{2})^{j}[/mm] + [mm][mm] \tilde a_0
[/mm]
= - [mm] [x_{2}^{2n+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{2n} a_i (-x_{2})^{j}- \tilde a_0]
[/mm]
=- [mm] [x_{2}^{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{2n}(- a_i) (-x_{2})^{j}+(- \tilde a_0)],
[/mm]
und dann laufen doch die Abschätzungen wie oben, bloß mit umgedrehtem Vorzeichen.
Oder übersehe ich was?
Gruß v. Angela
>
> Da Polynome stetig sind folgt aus dem Zwischenwertsatz die
> Existenz einer Nullstelle von q. Aus [mm]p(\IR)[/mm] = [mm]\IR[/mm] folgt
> insbesondere die Existenz einer Nullstelle von p.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 24.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Ich sehe da kein Fehler aber halt nur, falls man nicht [mm] x_1, x_2 \ge [/mm] 1 sondern [mm] x_2, -x_1 \ge [/mm] 1 annimmt. Das ist also der einzige Fehler.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Do 24.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo abi2007LK!
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>
> Ich muss zugeben, so ganz konnte ich Deinen Beweis nicht
> nachvollziehen.
>
> Es geht m.E. aber auch viel einfacher. Betrachte
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}p(x)[/mm] sowie
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}p(x)[/mm] und wende anschließend den
> Zwischenwertsatz an.
>
> Daraus folgt unmittelbar die Existenz (mind.) einer
> Nullstelle.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Hallo
Da muss ich Roadrunner voll zustimmen. Manchmal ist ein anderer Beweis deutlich eleganter als der Musterbeweis. Und das ist hier definitiv der Fall
Marius
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