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Polynom Faktorisieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Aufgabe
Die Berechnung von Eigenwerten einer Matrix erfordert die BEstimmung der Nullstellen eines Polynoms, Bestimmen sie alle Nullstellen des Polynoms.

[mm] p(x)=x^{5}+x^{4}-6x^{3}-4x^{2}+8x [/mm]

Hi
also hab zu dieser Aufgabe leider nichts in meinem Script gefunden....
wie muss ich denn da genau Vorgehen???
eine Nullstelle kann man natürlich mit ausklammern von x erreichen...logisch... aber wie geht man da genau richtig vor, wenn nett wenn mir jemand genau zeigen könnte wie man ein polynom faktorisiert....

Grüße
Roffel

        
Bezug
Polynom Faktorisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Do 09.06.2011
Autor: kushkush

Hallo,
klammere eine Nullstelle aus, dann rate eine Nullstelle zbsp. 2 und mach eine Polynomdivision.  




Gruss
kushkush

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Polynom Faktorisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Danke,
ich hab die Nullstelle x=1 erraten.

mit der Polynomdivision hab ich dann das rausbekommen:

[mm] x^{4}+2x^{3}-4x^{2}-8x [/mm]   und wie mach ich jetzt weiter? probier ich jetzt wieder eine nullstelle zu erraten und dann nochmal polynomdiv. usw...?

Grüße

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Polynom Faktorisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 09.06.2011
Autor: wieschoo


> Danke,
>  ich hab die Nullstelle x=1 erraten.
>  
> mit der Polynomdivision hab ich dann das rausbekommen:
>  
> [mm]x^{4}+2x^{3}-4x^{2}-8x[/mm]   und wie mach ich jetzt weiter?
> probier ich jetzt wieder eine nullstelle zu erraten und
> dann nochmal polynomdiv. usw...?

ja solange bis du nur noch Linearfaktoren hast. Die erste Nullstelle ist doch x=0, wie du schon gesagt hast ("x ausklammern")

Also bleibt nur noch [mm]x^3+2x^2-4x-8[/mm] übrig.

Nutze noch am bestens aus, dass bei Nullstellenn [mm] $\in \IZ$ [/mm] die Nullstellen das Absolutglied teilen müssen [mm] ($\pm$Teiler [/mm] von 8)

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Polynom Faktorisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Danke wieschoo   !!!

k ich klammer dann also x aus und errate wieder eine Nullstelle z.b. hier x=2 und mache dann wieder Polynomdivision...k

>  
> Also bleibt nur noch [mm]x^3+2x^2-4x-8[/mm] übrig.
>  
> Nutze noch am bestens aus, dass bei Nullstellenn [mm]\in \IZ[/mm]
> die Nullstellen das Absolutglied teilen müssen ([mm]\pm[/mm]Teiler
> von 8)  

das hört sich extrem clever an, könntest du mir das kurz nochmal genauer erklären was du damit  meinst? :)

Grüße


Bezug
                                        
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Polynom Faktorisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Do 09.06.2011
Autor: reverend

Hallo Roffel,

> k ich klammer dann also x aus und errate wieder eine
> Nullstelle z.b. hier x=2 und mache dann wieder
> Polynomdivision...k

Genau.

> > Also bleibt nur noch [mm]x^3+2x^2-4x-8[/mm] übrig.

Nach Polynomdivision hättest Du dann nur noch ein Polynom zweiten Grades, dessen Nullstellen - sofern existent - du ja mit der p/q-Formel etc. finden kannst.

> > Nutze noch am bestens aus, dass bei Nullstellenn [mm]\in \IZ[/mm]
> > die Nullstellen das Absolutglied teilen müssen ([mm]\pm[/mm]Teiler
> > von 8)  

>

> das hört sich extrem clever an, könntest du mir das kurz
> nochmal genauer erklären was du damit  meinst? :)

Dass ein [mm] x_0, [/mm] das Nullstelle ist, ein echter Teiler der 8 sein muss, und zwar positiv oder negativ.
Es kommen also in Frage: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Und sonst nichts.

Grüße
reverend


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Polynom Faktorisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

thx reverend


>  
> Nach Polynomdivision hättest Du dann nur noch ein Polynom
> zweiten Grades, dessen Nullstellen - sofern existent - du
> ja mit der p/q-Formel etc. finden kannst.

genau da bekomm ich das raus:

[mm] x_{4,5}=\bruch{-4\pm0}{2} [/mm]

also gibt ja nur noch eine weitere Nullstelle und zwar die [mm] x_{4}=-2 [/mm] oder?
in der Aufgabenstellung steht:"BEstimmen sie alle Nullstellen des Polynoms und deren Vielfachheiten.Geben sie die vollständig faktorisierte Darstellung des Polynoms an."

was heist das genau für mich? jetzt hab ich die 4 Nullstellen raus.. aber was muss ich alles noch angeben  usw....was wird da genau noch von mir alles verlangt?



>  
> Dass ein [mm]x_0,[/mm] das Nullstelle ist, ein echter Teiler der 8
> sein muss, und zwar positiv oder negativ.
>  Es kommen also in Frage: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Und
> sonst nichts.

ah k super, merke ich mir danke!
Grüße
Roffel

>  


Bezug
                                                        
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Polynom Faktorisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Do 09.06.2011
Autor: fencheltee


> thx reverend
>  
>
> >  

> > Nach Polynomdivision hättest Du dann nur noch ein Polynom
> > zweiten Grades, dessen Nullstellen - sofern existent - du
> > ja mit der p/q-Formel etc. finden kannst.
>  
> genau da bekomm ich das raus:
>  
> [mm]x_{4,5}=\bruch{-4\pm0}{2}[/mm]
>  
> also gibt ja nur noch eine weitere Nullstelle und zwar die
> [mm]x_{4}=-2[/mm] oder?
>  in der Aufgabenstellung steht:"BEstimmen sie alle
> Nullstellen des Polynoms und deren Vielfachheiten.Geben sie
> die vollständig faktorisierte Darstellung des Polynoms
> an."
>  
> was heist das genau für mich? jetzt hab ich die 4
> Nullstellen raus.. aber was muss ich alles noch angeben  
> usw....was wird da genau noch von mir alles verlangt?
>  
>
>
> >  

> > Dass ein [mm]x_0,[/mm] das Nullstelle ist, ein echter Teiler der 8
> > sein muss, und zwar positiv oder negativ.
>  >  Es kommen also in Frage: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.
> Und
> > sonst nichts.
>  
> ah k super, merke ich mir danke!
>   Grüße
>  Roffel
>  >  
>  

als beispiel mal [mm] y=\[{x}^{3}+3\,{x}^{2}-4\] [/mm] das lässt sich durch raten von einer nullstelle [mm] (x_0=1) [/mm] auf eine quadratische gleichung reduzieren, welche dann die DOPPELTE nullstelle x=-2 hat
als faktorisierte form ergibt sich demnach
[mm] y=(x-x_0)^1*(x-x_{12})^\red{2} [/mm]
[mm] y=(x-1)*(x+2)^2 [/mm]
wobei die rote 2 die vielfachheit der nullstelle angibt

gruß tee

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Polynom Faktorisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Danke tee!


>  >  in der Aufgabenstellung steht:"BEstimmen sie alle
> > Nullstellen des Polynoms und deren Vielfachheiten.

was ist hier noch mit Vielfachheiten gemeint????

Geben sie

> > die vollständig faktorisierte Darstellung des Polynoms
> > an."

Dann sieht die Lösung zu dieser Aufage also vollständig so aus???

Nullsten x1=0 x2=1 x3=2 x4,5=-2

vollständig faktorisiertes Polynom:

p(x):= [mm] x*(x-1)^{1}*(x-2)^{1}*(x+2)^{2} [/mm] ???

Grüße
Roffel


Bezug
                                                                        
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Polynom Faktorisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Do 09.06.2011
Autor: wieschoo


> Danke tee!
>  
>
> >  >  in der Aufgabenstellung steht:"BEstimmen sie alle

> > > Nullstellen des Polynoms und deren Vielfachheiten.
>  was ist hier noch mit Vielfachheiten gemeint????

Definition: eine Nullstelle a des Polynoms p hat die Vielfachheit n, falls der Linearfaktor (x-a) n-fach auftritt.

>  
> Geben sie
> > > die vollständig faktorisierte Darstellung des Polynoms
> > > an."
>  
> Dann sieht die Lösung zu dieser Aufage also vollständig
> so aus???
>  
> Nullsten x1=0 x2=1 x3=2 x4,5=-2
>  
> vollständig faktorisiertes Polynom:
>  
> p(x):= [mm]x*(x-1)^{1}*(x-2)^{1}*(x+2)^{2}[/mm] ???

Wenn du dir da nicht sicher bist, dann mach doch die Probe. Das passt aber.

>  
> Grüße
> Roffel
>  


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