Polynom Grad 2 in LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Problem ein Polynom zweites Grades zu finden, dessen Graph durch drei vorgegebene Punkte [m](x_i, y_i), \, i = 1, ..., 3[/m] läuft,
führt auf ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
a) Stellen Sie dieses Gleichungssystem auf und geben Sie die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite [m]b[/m] an.
Hinweis: Richten Sie die drei Unbekannten im Vektor so ein, dass die erste Unbekannte von [m]x^{0}[/m] im Polynom ist,
die zweite der von [m]x^{1}[/m] und die dritte der von [m]x^{2}[/m].
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus [m]det(A)[/m].
c) Bestimmen Sie das gesuchte Polynom für die drei Punkte [m](1,3), (2,16), (3,37)[/m]. |
Hallo zusammen.
Ich schreibe erstmal die allgemeine Form eines Polynoms zweites Grades auf:
[m]\summe_{i=0}^{2} a_{i} x^{i} = a_0x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2, \; a_0, a_1, a_2 \in \IR[/m]
Ich versuche mal das Gleichungssystem aufzustellen. Aus der Aufgabenstellung geht heraus, dass es eine Matrix [m]A[/m] mit [m]A \in \R^{3x3}[/m] und [m]b \in \IR^{3}[/m] sein muss (also drei Gleichungen und drei Unbekannte). Gesucht ist der Lösungsvektor, bestehend aus den Koeffizienten von [mm] x^0, x^1,x^2[/mm] [m]\vec x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m].
Sei [m]A*x = b[/m] mit [m]A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \end{pmatrix} [/m]
Ich komme hier mit den Dimensionen nicht zurecht.
A sollte [m]A \in \IR^{3x3}[/m] sein. Die rechte Seite b sollte [m]b \in \IR^{3}[/m] sein und der Lösungsvektor [mm] \vec [/mm] x sollte [m]x \in \IR^{3}[/m] (ist er auch).
Würde lieber die [mm] x_0, x_1, x_2 [/mm] des Polynoms in die Matrix A schreiben und die Punkte in die rechte Seite b (da variabel).
Hat hier jemand einen Tipp für mich?
Die Teilaufgaben b) und c) lassen sich ja nur lösen, wenn a) bearbeitet wurde.
Danke!
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Hallo,
> Das Problem ein Polynom zweites Grades zu finden, dessen
> Graph durch drei vorgegebene Punkte [m](x_i, y_i), \, i = 1, ..., 3[/m]
> läuft,
> führt auf ein lineares Gleichungssystem mit drei
> Gleichungen und drei Unbekannten.
>
> a) Stellen Sie dieses Gleichungssystem auf und geben Sie
> die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite [m]b[/m] an.
> Hinweis: Richten Sie die drei Unbekannten im Vektor so
> ein, dass die erste Unbekannte von [m]x^{0}[/m] im Polynom ist,
> die zweite der von [m]x^{1}[/m] und die dritte der von [m]x^{2}[/m].
>
> b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus [m]det(A)[/m].
>
> c) Bestimmen Sie das gesuchte Polynom für die drei Punkte
> [m](1,3), (2,16), (3,37)[/m].
> Hallo zusammen.
>
> Ich schreibe erstmal die allgemeine Form eines Polynoms
> zweites Grades auf:
>
> [m]\summe_{i=0}^{2} a_{i} x^{i} = a_0x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2, \; a_0, a_1, a_2 \in \IR[/m]
>
> Ich versuche mal das Gleichungssystem aufzustellen. Aus der
> Aufgabenstellung geht heraus, dass es eine Matrix [m]A[/m] mit [m]A \in \R^{3x3}[/m]
> und [m]b \in \IR^{3}[/m] sein muss (also drei Gleichungen und drei
> Unbekannte). Gesucht ist der Lösungsvektor, bestehend aus
> den Koeffizienten von [mm]x^0, x^1,x^2[/mm] [m]\vec x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m].
>
> Sei [m]A*x = b[/m] mit [m]A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \end{pmatrix}[/m]
>
> Ich komme hier mit den Dimensionen nicht zurecht.
Das wär hier ein guter Hinweis einzusehen, dass das was du hier versuchst Müll ist.
> A sollte [m]A \in \IR^{3x3}[/m] sein. Die rechte Seite b sollte [m]b \in \IR^{3}[/m]
> sein und der Lösungsvektor [mm]\vec[/mm] x sollte [m]x \in \IR^{3}[/m]
> (ist er auch).
>
> Würde lieber die [mm]x_0, x_1, x_2[/mm] des Polynoms in die Matrix
> A schreiben und die Punkte in die rechte Seite b (da
> variabel).
Mal abgesehen davon, dass Methematik kein Wunschkonzert ist, was hält dich davon ab das zu tun?
> Hat hier jemand einen Tipp für mich?
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> Die Teilaufgaben b) und c) lassen sich ja nur lösen, wenn
> a) bearbeitet wurde.
>
> Danke!
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Hallo nochmal.
Man könnte die Matrix A folgendermaßen umschreiben, dass es eine 3x3 Matrix entsteht:
[m]A = \begin{pmatrix} x_0 & 0 & 0 \\ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 \end{pmatrix}[/m] und der Lösungsvektor [m]x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m] wird beibehalten.... dann entsteht durch Matrixmultiplikation genau das obige Polynom zweiten Grades und es sind ja gerade die Koeffizienten gesucht, die zu dann eingesetzten Punkten das entstehende Polynom ausgeben.
Nur wie sieht es dann mit den Punkten [m](x_i, y_i), \; i=1,...,3[/m] aus?
Die rechte Seite [m]b[/m] muss im Spaltenrang von A sein sein, also es muss gelten: [m]b \in \IR^3[/m].
Wie bringe ich die Punkte als Komponenten in der rechten Seiten b unter? (wenn das überhaupt so gemacht werden muss)
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> Hallo nochmal.
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> Man könnte die Matrix A folgendermaßen umschreiben, dass
> es eine 3x3 Matrix entsteht:
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> [m]A = \begin{pmatrix} x_0 & 0 & 0 \\ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 \end{pmatrix}[/m]
> und der Lösungsvektor [m]x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m]
> wird beibehalten.... dann entsteht durch
> Matrixmultiplikation genau das obige Polynom zweiten Grades
> und es sind ja gerade die Koeffizienten gesucht, die zu
> dann eingesetzten Punkten das entstehende Polynom
> ausgeben.
Könntest du mir das mal explizit vorrechnen?
> Nur wie sieht es dann mit den Punkten [m](x_i, y_i), \; i=1,...,3[/m]
> aus?
> Die rechte Seite [m]b[/m] muss im Spaltenrang von A sein sein,
> also es muss gelten: [m]b \in \IR^3[/m].
> Wie bringe ich die
> Punkte als Komponenten in der rechten Seiten b unter? (wenn
> das überhaupt so gemacht werden muss)
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Ich glaub, wenn ich die Aufgabe verstanden hätte, würde ich kaum einen Artikel hierzu schreiben oder? ;)
Was ich durch A*x erhalten würde, wobei [m]A \in \IR^{3 \times 3}, x \in \IR^{3}[/m] wäre folgendes:
[mm] x_0a_0 [/mm] + [mm] x_1a_1 [/mm] + [mm] x2_a_2 [/mm] = "rechte Seite b"
Es entsteht also eine Produkt (A*x) mit (A*x) [mm] \in \IR^3
[/mm]
Nur mit der rechten Seite b verstehe ich es nicht... es sollte dort die Elemente mit den Punkte belegt werden, klappt aber nicht...
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> Ich glaub, wenn ich die Aufgabe verstanden hätte, würde
> ich kaum einen Artikel hierzu schreiben oder? ;)
Was willst du mir damit sagen?
> Was ich durch A*x erhalten würde, wobei [m]A \in \IR^{3 \times 3}, x \in \IR^{3}[/m]
> wäre folgendes:
>
> [mm]x_0a_0[/mm] + [mm]x_1a_1[/mm] + [mm]x2_a_2[/mm] = "rechte Seite b"
Nein. nxm-Matrix mal mx1 vektor ergibt nx1-Vektor, also hier keine Zahl.
Mal ganz abgesehen davon, was hat [mm] $x_0a_0+x_1a_1+x_2a_2$ [/mm] mit dem gesuchten polynom zu tun?
> Es entsteht also eine Produkt (A*x) mit (A*x) [mm]\in \IR^3[/mm]
>
Wie bitte? Wieso sollte Ax*Ax berechnet werden? Wieso sollte man das wollen? Mal ganz abgesehen davon, dass es nicht geht weil man einen 3x1-Vektor nicht mit einem 3x1-Vektor multiplizieren kann.
> Nur mit der rechten Seite b verstehe ich es nicht... es
> sollte dort die Elemente mit den Punkte belegt werden,
> klappt aber nicht...
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...über einen 'heißen' Tipp von Deiner Seite wäre ich dankbar ;)
Das will ich damit sagen!
Ich blicke jetzt nicht mehr durch!
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Ein Beispiel.
Finde ein Polynom höchstens zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte [mm](-2,31),(1,1),(3,1)[/mm] geht.
Mit dem Ansatz
[mm]p(t) = u + vt + wt^2[/mm]
sollen also [mm]p(-2)=31[/mm], [mm]p(1)=1[/mm] und [mm]p(3)=1[/mm] gelten. Das führt auf das lineare Gleichungssystem
[mm]\begin{matrix} u - 2v + 4w = 31 \\ u + v + w = 1 \\ u + 3v + 9w = 1 \end{matrix}[/mm]
Mit Hilfe von
[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 31 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ x = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}[/mm]
kann das in der Form
[mm]Ax = b[/mm]
geschrieben werden. Man findet in diesem Fall [mm]u=7, \, v=-8, \,w=2[/mm] als Lösung.
Und diese Aufgabe sollst du jetzt verallgemeinern. Statt konkreter Punkte hast du die Punkte [mm](x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3)[/mm]. Der Ansatz für [mm]p(t)[/mm] ist wie oben. Die Bedingungen lauten [mm]p(x_1)=y_1, \, p(x_2)=y_2, \, p(x_3)=y_3[/mm]. Die erste einmal ausgeschrieben:
[mm]u + x_1 v + {x_1}^2 w = y_1[/mm]
Jetzt stelle die andern Bedingungen auf und bestimme [mm]A,b[/mm] ganz wie im Beispiel.
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