Polynom: Nullst. +Primfaktoren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bollera |
| Aufgabe | | Gesucht: Primfaktorisierung des Polynoms [mm] 2x^6-10x^5+12x^4-6x^3+30x^2-34x-6 [/mm] im Ring Z[X] |
Hallo Leute, kann mir jemand helfen? Hab irgendwie nicht mitgekriegt wie das anzugehen ist:
Schulmathematische Methoden wie Polynom normieren (dann müssen ganzzahlige Lösungen Teiler des absoluten Gliedes sein) funktionieren nicht weils keine ganzzahligen Nullstellen gibt, also auch nix mit Linearfaktoren abspalten im Moment....
Könnte ja also zuerst mal Nullstellen in Q finden und dann weitersehen, aber wie finde ich die? Kenne da nur numerische Verfahren aber das kanns ja auch nicht sein nehm ich an 
Danke schonmal!
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> Gesucht: Primfaktorisierung des Polynoms
> [mm]2x^6-10x^5+12x^4-6x^3+30x^2-34x-6[/mm] im Ring Z[X]
> Hallo Leute, kann mir jemand helfen? Hab irgendwie nicht
> mitgekriegt wie das anzugehen ist:
> Schulmathematische Methoden wie Polynom normieren (dann
> müssen ganzzahlige Lösungen Teiler des absoluten Gliedes
> sein) funktionieren nicht weils keine ganzzahligen
> Nullstellen gibt,
Wie wärs mit [mm] x_{0}=3
[/mm]
> also auch nix mit Linearfaktoren
> abspalten im Moment....
> Könnte ja also zuerst mal Nullstellen in Q finden und
> dann weitersehen, aber wie finde ich die? Kenne da nur
> numerische Verfahren aber das kanns ja auch nicht sein nehm
> ich an
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bollera |
| Aufgabe | | Ups, schön, also [mm] f=(x-3)(x^5-2x^4-3x^2+6x+1) [/mm]. Kann der zweite Klammerausdruck nicht weiter faktorisiert werden, im Ring Z[X]? |
Leute, sorry euch an so einem sonnigen Samstag zu nerven, aber ich würd einfach brennend gern wissen:
Wenn ich ein Polynom grösseren Grades als 4 hab, wie das angegebene, was kann ich AUSSER Nullstellen abspalten tun um die Primfaktorisierung in einem angegebenen Ring zu finden? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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> Ups, schön, also [mm]f=(x-3)(x^5-2x^4-3x^2+6x+1) [/mm]. Kann der
> zweite Klammerausdruck nicht weiter faktorisiert werden, im
> Ring Z[X]?
(x-3) [mm] (1+(x-2)*(x^3-3)*x)
[/mm]
> Leute, sorry euch an so einem sonnigen Samstag zu nerven,
> aber ich würd einfach brennend gern wissen:
> Wenn ich ein Polynom grösseren Grades als 4 hab, wie das
> angegebene, was kann ich AUSSER Nullstellen abspalten tun
> um die Primfaktorisierung in einem angegebenen Ring zu
> finden?
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierungsverfahren
Naja, Binomische Formeln, Ausklammern.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 So 29.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ups, schön, also [mm]f=(x-3)(x^5-2x^4-3x^2+6x+1) [/mm]. Kann der
Du hast den Faktor 2 vergessen 
> zweite Klammerausdruck nicht weiter faktorisiert werden, im
> Ring Z[X]?
Nein, der Faktor ist irreduzibel. Das kannst du sehen, wenn du ihn modulo 2 anschaust: es reicht dann zu zeigen, dass er weder Nullstellen hat noch von einem irreduziblen Polynom von Grad 2 geteilt wird (davon gibt es nur ein einziges, bis auf Normierung).
> Leute, sorry euch an so einem sonnigen Samstag zu nerven,
> aber ich würd einfach brennend gern wissen:
> Wenn ich ein Polynom grösseren Grades als 4 hab, wie das
> angegebene, was kann ich AUSSER Nullstellen abspalten tun
> um die Primfaktorisierung in einem angegebenen Ring zu
> finden?
Nun, es lohnt sich erstmal, das Polynom modulo kleinen Primzahlen anzuschauen und dort zu faktorisieren. Diese Faktorisierungen geben dir Hinweise, wie die moeglichen Faktorisierungen ueber [mm] $\IZ$ [/mm] aussehen. Im guenstigsten Fall siehst du, dass das Polynom irreduzibel ist.
Ansonsten hilft es weiter, zu schauen ob es quadratische Faktoren gibt. (Wenn du das nicht explizit mit dem obigen ausschliessen kannst.) Dazu schreibst du $f = g(x) [mm] \cdot (x^2 [/mm] + a x + b)$ mit $g = [mm] x^n [/mm] + [mm] c_{n-1} x^{n-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] c_0 x^0$ [/mm] und $a, b, [mm] c_0, \dots, c_{n-1} \in \IZ$: [/mm] ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich gibt dir einen Haufen Gleichungen, und du kannst schauen ob es ganzzahlige Loesungen gibt.
Am einfachsten ist es allerdings, ein Programm wie Maple, Mathematica, Magma, ... zu bequemen und es nach der Faktorisierung zu fragen... Oder auch einfach ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha, dazu brauchst du kein spezielles Programm...
LG Felix
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