Polynom im euklidischen VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zulösen:
Man hat ein R-Vektorraum mit Polynomen vom Grad höchstens 3 und ein Skalarprodukt definiert als:
[mm] \left\langle f , g \right\rangle := \integral_{0}^{1} f(x)g(x) dx [/mm]
a) Sei [mm] U := Lin({x^2, x^3}) [/mm]. Berechne das orthogonale Komplement von U
So ich bin soweit gekommen, das ich ein GS für [mm] a_3, a_2, a_1 und a_0 [/mm] habe und da ja zwei frei wählbare Parameter erhalte.
Daraus ergeben sich zwei Vektoren [mm] c_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \\ \bruch{21}{10} \end{pmatrix} und c_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \bruch{-15}{2} \\ 7 \end{pmatrix} [/mm]
Nun meine Frage: wie schreibe ich die Lösungsmenge auf, sie muß doch [mm] x^3, x^2 [/mm] und x enthalten, oder ?
MfG
Chriskoi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe zulösen:
>
> Man hat ein R-Vektorraum mit Polynomen vom Grad höchstens 3
> und ein Skalarprodukt definiert als:
>
Schau doch bitte mal den Strang
https://matheraum.de/read?f=16&t=1658&i=1658
an.
Vielleicht findest du dort genug Angaben für deine Lösung?
> [mm]\left\langle f , g \right\rangle := \integral_{0}^{1} f(x)g(x) dx[/mm]
>
>
> a) Sei [mm]U := Lin({x^2, x^3}) [/mm]. Berechne das orthogonale
> Komplement von U
>
> So ich bin soweit gekommen, das ich ein GS für [mm]a_3, a_2, a_1 und a_0[/mm]
> habe und da ja zwei frei wählbare Parameter erhalte.
>
> Daraus ergeben sich zwei Vektoren [mm]c_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \\ \bruch{21}{10} \end{pmatrix} und c_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \bruch{-15}{2} \\ 7 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Nun meine Frage: wie schreibe ich die Lösungsmenge auf, sie
> muß doch [mm]x^3, x^2[/mm] und x enthalten, oder ?
>
Hier würde ich vorschlagen, zuerst eine Basis vorzugeben. Die kann ja einfach mal, wie es julius auch bereits in einem anderen Strang vorgeschlagen hat, so gewählt werden: [mm] $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$
[/mm]
Deine beiden berechneten Vektoren sind dann zwei linear unabhängige Vektoren des gesuchten Unterraumes, und du kannst einfach schreiben: [mm] $U=span(c_{1},c_{2})$
[/mm]
Wobei aber noch einige Details zu beachten sind: die Reihenfolge der Basisvektoren stimmen nicht mit jenen von mir überein, die Komponenten sind also noch in eine andere Reihenfolge zu bringen. Des Weiteren ist nicht $U$ gesucht, sondern das orthogonale Komplement davon.
Ich würde auch noch vorschlagen, bei deinen Vektoren die Brüche durch geeignete Multiplikation zu eliminieren.
Ich habe zwar meine Notizen zum oben angegebenen Strang schon weggeworfen, wenn du aber noch weitere Auskunft brauchst, kann ich das gerne nochmals nachvollziehen.
Mit lieben Grüssen
|
|
|
|
