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| Aufgabe | | Sei K ein endlicher Körper. Beweisen Sie, dass es ein nicht-konstantes Polynom p über K gibt, welches keine Nullstelle in K besitzt. |
Hallo!
Ich möchte meine Beweisskizze von euch überprüfen lassen und dann auch noch fragen, ob es einen "konstruktiveren" Beweis als meinen gibt.
Beweisskizze:
1. Ausschluss des Körpers mit 2 Elementen: Das Polynom [mm] $t^{2}+t+1$ [/mm] ergibt für alle Eingaben 0 und 1 den Wert 1.
2.
a) Die Mächtigkeit des Körpers K sei n.
Ich will nun darauf hinaus, dass es mindestens ein Polynom gibt, das für zwei verschiedene eingesetzte Werte denselben Wert liefert. Dann gibt es nämlich einen Wert, auf den das Polynom nicht abbildet; und ich kann mit Addition einer entsprechenden Konstante dafür sorgen, dass dieser nicht-abgebildete Wert gerade die 0 ist.
Idee: Zu jedem Polynom gibt es eine zugehörige Polynomfunktion; es gibt aber im Fall dass der Körper nur n Elemente hat, nur n! bijektive Polynomfunktionen.
Es gibt aber [mm] n^{n} [/mm] nichtkonstante Polynome mit [mm] a_{1} [/mm] = 1, und [mm] n^{n} [/mm] nichtkonstante Polynome mit [mm] a_{1} [/mm] = 2. Da [mm] $n^{n} [/mm] > n!$ für $n> 2$, gibt es also entweder / oder:
- Ein nichtkonstantes Polynom mit [mm] $a_{1} [/mm] = 1$, dessen Polynomfunktion nicht bijektiv ist --> nicht injektiv oder nicht surjektiv --> Es gibt [mm] x_{1},x_{2}\in [/mm] K mit [mm] x_{1}\not= x_{2} [/mm] und [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] , daraus folgt es gibt einen Wert der nicht erreicht wird --> Addiere die entsprechende Konstante
- Ein nichtkonstantes Polynom mit [mm] $a_{1} [/mm] = 1$ und eines mit [mm] $a_{1} [/mm] = 2$, dessen Polynomfunktionen gleich sind. Daraus folgt, dass die "Differenz" der Polynomfunktionen nicht konstant ist, aber die Polynomfunktion die Nullabbildung ist. Rechne ich auf das Differenzpolynom 1 drauf, erhalte ich die Behauptung.
Frage: Geht das so? Ist die Fallunterscheidung richtig? Und: Gibt es noch einen einfacheren Weg?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 23.11.2009 | | Autor: | asiafire |
Hallo liebe Community,
an einer korrekten Lösung dieser Fragestellung bin ich auch interessiert. :)
Viele Grüße,
asiafire
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Hallo,
tschuldigung, merkte gerade, dass ich einen Doppelpost gelandet habe.
Grüße,
Stefan
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