matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenPolynomabbildung, Matrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Abbildungen" - Polynomabbildung, Matrix
Polynomabbildung, Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polynomabbildung, Matrix: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:56 Mo 20.01.2014
Autor: Cccya

Aufgabe
Es sei Vd der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich d mit reellen Koeffizienten. Es bezeichne p'(X)= [mm] \summe_{j=1}^{d} ja_{j}X^{j-1} [/mm]

Edit by Marcel: Exponenten in geschweifte Klammern fassen: [mm] [nomm]$X^{j-1}$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $X^{j-1}$, [nomm]$X^j-1$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $X^j-1$! [/mm]

die Ableitung des Polynoms p(X) = [mm] \summe_{j=1}^{d} a_{j}X^j. [/mm]
Die lineare Abbildung f : V3 --> V3 sei durch
f(p(X))= p(X)-p'(X) gegeben.

a)Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

b) Es seien B={1, x , [mm] x^2 [/mm] , [mm] x^3} [/mm] und E = {1, x-1, [mm] x^2 [/mm] - x , [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2} [/mm] zwei Basen von V3, geben sie die Matrix von f bezüglich B, E an.


a) Injektivität f(x1)=f(x2) nur für x1=x2


Sei f(x1)=f(x2) mit x1, x2 [mm] \in [/mm] R
[mm] \summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{1}^j [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{1}^{j-1} [/mm]
=  [mm] \summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{2}^j [/mm] -
[mm] \summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{2}^{j-1} [/mm]
also [mm] (a_{1}x_{1}^1-a_{1}x_{1}^0)+(a_{2}x_{1}^2- 2a_{2}x_{1}^1) [/mm]
+ [mm] (a_{3}x_{1}^3- 3a_{3}x_{1}^2) [/mm] = [mm] (a_{1}x_{2}^1-a_{1}x_{2}^0)+(a_{2}x_{2}^2- 2a_{2}x_{2}^1) [/mm]
+ [mm] (a_{3}x_{2}^3- 3a_{3}x_{2}^2) [/mm]

[mm] a_{1}(x_{1}^1-x_{2}^1)+a_{2}(x_{1}^2-2x_{1}^1-x_{2}^2+2x_{2}^1)+ a_{3}(x_{1}^3-3x_{1}^2-x_{2}^3+3x_{2}^2)=0 [/mm]
Dies ist nur für das Nullpolynom und [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] erfüllt, also ist f injektiv.
Weil dim (V3) = dim (V3) <  [mm] \infty [/mm] und f linear ist injektiv äquivalent zu bijektiv und f ist auch bijektiv.

b) Einsetzen der Basiselement für p(X)  ergibt

[mm] A_{b}= [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

[mm] A_{e}= [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Ist das richtig? Vielen Dank.


        
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Mo 20.01.2014
Autor: fred97


> Es sei Vd der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder
> gleich d mit reellen Koeffizienten. Es bezeichne p'(X)=
> [mm]\summe_{j=1}^{d} ja_{j}X^j-1[/mm]
>  die Ableitung des Polynoms
> p(X) = [mm]\summe_{j=1}^{d} a_{j}X^j.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Die lineare Abbildung f
> : V3 --> V3 sei durch
> f(p(X))= p(X)-p'(X) gegeben.
>  
> a)Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.
>  
> b) Es seien B={1, x , [mm]x^2[/mm] , [mm]x^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

und E = {1, x-1, [mm]x^2[/mm] - x ,

> [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2}[/mm] zwei Basen von V3, geben sie die Matrix von f
> bezüglich B, E an.
>  a) Injektivität f(x1)=f(x2) nur für x1=x2
>  
>
> Sei f(x1)=f(x2) mit x1, x2 [mm]\in[/mm] R
>   [mm]\summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{1}^j[/mm] - [mm]\summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{1}^{j-1}[/mm]
> =  [mm]\summe_{j=1}^{3} a_{j}x_{2}^j[/mm] -
> [mm]\summe_{j=1}^{3} ja_{j}x_{2}^{j-1}[/mm]
> also [mm](a_{1}x_{1}^1-a_{1}x_{1}^0)+(a_{2}x_{1}^2- 2a_{2}x_{1}^1)[/mm]
>  
> + [mm](a_{3}x_{1}^3- 3a_{3}x_{1}^2)[/mm] =
> [mm](a_{1}x_{2}^1-a_{1}x_{2}^0)+(a_{2}x_{2}^2- 2a_{2}x_{2}^1)[/mm]
>  
> + [mm](a_{3}x_{2}^3- 3a_{3}x_{2}^2)[/mm]
>  
> [mm]a_{1}(x_{1}^1-x_{2}^1)+a_{2}(x_{1}^2-2x_{1}^1-x_{2}^2+2x_{2}^1)+ a_{3}(x_{1}^3-3x_{1}^2-x_{2}^3+3x_{2}^2)=0[/mm]
>  
> Dies ist nur für das Nullpolynom und [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] erfüllt,
> also ist f injektiv.


Was Du da oben treibst ist mir ein Rätsel !!

Für die Injektivität zeige: [mm] Kern(f)=\{0\}. [/mm]

Es ist p(X) [mm] \in [/mm] Kern(f)  [mm] \gdw [/mm] p(X)=p'(X). Zeige nun Du, dass p das Nullpolynom ist.


>  Weil dim (V3) = dim (V3) <  [mm]\infty[/mm] und f linear ist
> injektiv äquivalent zu bijektiv und f ist auch bijektiv.
>  
> b) Einsetzen der Basiselement für p(X)  ergibt
>  
> [mm]A_{b}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> [mm]A_{e}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> Ist das richtig? Vielen Dank.

Die Matrizen hast Du richtig berechnet.

FRED

>  


Bezug
        
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Hinweis: Editiert!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:55 Mo 20.01.2014
Autor: Marcel

Hallo,

ich habe Dir Deine Formel korrigiert.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]