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Forum "Lineare Abbildungen" - Polynomabbildung, Matrix
Polynomabbildung, Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Polynomabbildung, Matrix: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 26.01.2014
Autor: Cccya

Aufgabe
Betrachten Sie die lineare Abbildung f: V3 --> V3 die durch f(p(X)) = p'(X) definiert ist.
a) Bestimmen Sie die f zugeordnete Matrix bezüglich der Basis
B = (1, 1-X, [mm] (1-X)^2, (1-X)^3) [/mm]

b) Berechnen Sie [mm] A^2 [/mm] = AA, [mm] A^3 [/mm] = [mm] AA^2 [/mm] und [mm] A^4 [/mm] = [mm] AA^3 [/mm]
. Welchen linearen Abbildungen von V3 nach V3 entsprechen diese Matrizen?

c) Es bezeichne E [mm] \in M_{4}(R) [/mm] die Einheitsmatrix. Welcher Abbildung g: V3 --> V3 entspricht die Matrix E-A? Beweisen Sie dass E-A invertierbar ist.

a) [mm] \pmat{ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

b) [mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

[mm] A^4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

Ist das richtig? Für [mm] A^3 [/mm] würde dann g(p(X))= p''(X) und für [mm] A^4 [/mm] g(p(X))=p'''(X)
passen. Aber für [mm] A^2 [/mm] finde ich keine passende Abbildung. Danke schonmal.

        
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 So 26.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Betrachten Sie die lineare Abbildung f: V3 --> V3 die durch
> f(p(X)) = p'(X) definiert ist.
> a) Bestimmen Sie die f zugeordnete Matrix bezüglich der
> Basis
> B = (1, 1-X, [mm](1-X)^2, (1-X)^3)[/mm]
>  
> b) Berechnen Sie [mm]A^2[/mm] = AA, [mm]A^3[/mm] = [mm]AA^2[/mm] und [mm]A^4[/mm] = [mm]AA^3[/mm]
>  . Welchen linearen Abbildungen von V3 nach V3 entsprechen
> diese Matrizen?
>  
> c) Es bezeichne E [mm]\in M_{4}(R)[/mm] die Einheitsmatrix. Welcher
> Abbildung g: V3 --> V3 entspricht die Matrix E-A? Beweisen
> Sie dass E-A invertierbar ist.
>  a) [mm]\pmat{ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  

Hallo,

erklär mal, wie Du diese Matrix bekommen hast.

LG Angela

> b) [mm]A^2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> [mm]A^3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> [mm]A^4[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Ist das richtig? Für [mm]A^3[/mm] würde dann g(p(X))= p''(X) und
> für [mm]A^4[/mm] g(p(X))=p'''(X)
>  passen. Aber für [mm]A^2[/mm] finde ich keine passende Abbildung.
> Danke schonmal.


Bezug
                
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 So 26.01.2014
Autor: Cccya

Ich hab immer die Basiselement in f(p(X)) eingesetzt (als p(X)). Das Ergebnis dann in der Form [mm] a1+bx+cx^2+dx^3 [/mm] dargestellt und den Vektor (a,b,c,d) als Spalte genommen. Also für f(1) = [mm] 0*1+0*x+0*x^2+0*x^3 [/mm] und deshalb erste Spalte (0,0,0,0) für f(1-X)= [mm] -1*1+0*x+0*x^2+0*x^3, [/mm] deshalb zweite Spalte (-1,0,0,0).  Oder muss ich das Ergebnis in der Form [mm] a1+b(1-X)+c(1-X)^2+d(1-X)^3 [/mm] darstellen? Dann wäre die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] ?

und dann passt glaube ich p(X) --> p''(X) für [mm] A^2, [/mm] p(X) --> p'''(X) für [mm] A^3 [/mm] und p(X) --> p''''(X) für [mm] A^4, [/mm] weil
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:49 Mo 27.01.2014
Autor: leduart

Hallo
du sollst doch die matrix zu der gegebenen Basis und nicht die Abbildung der 4 Vektoren bezüglich  der Basis [mm] 1,x,x^2,x^3 [/mm] darstellen. der Vektor
[mm] (1-x)^2 [/mm]  in Komponentenschreiweise ist (0,0,1,0) ^Ter wird abgebildet auf -2*(1-x) also
[mm] -2*((0,1,0,0)^T [/mm] usw

Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Polynomabbildung, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:23 Mo 27.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich hab immer die Basiselement in f(p(X)) eingesetzt (als
> p(X)). Das Ergebnis dann in der Form [mm]a1+bx+cx^2+dx^3[/mm]
> dargestellt und den Vektor (a,b,c,d) als Spalte genommen.

Hallo,

wenn Du dies tust, hast Du die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] (1,(1-X),(1-X)^2,(1-X)^3) [/mm] in Urbild- und [mm] (1,X,X^2,X^3) [/mm] im Bildraum.
Diese war aber nicht gefragt.

>  Oder muss ich das Ergebnis in
> der Form [mm]a1+b(1-X)+c(1-X)^2+d(1-X)^3[/mm] darstellen?

Genau.


> Dann wäre
> die Matrix
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> ?
>  
> und dann passt glaube ich p(X) --> p''(X) für [mm]A^2,[/mm] p(X)
> --> p'''(X) für [mm]A^3[/mm] und p(X) --> p''''(X) für [mm]A^4,[/mm] weil
> [mm]A^2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> [mm]A^3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  

Ja.

LG Angela


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