Polynombestimmung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Esperanza |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein Polynom [mm] p(x)=\alpha_0+\alpha_1*x+\alpha_2*x^2+\alpha_3*x^3 [/mm] , so dass die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x\le 0 \mbox{ } \\ p(x) & \mbox{für } 0
für jedes [mm] x\in\IR [/mm] differenzierbar ist. |
Hier mal wieder eine Aufgabe die ich für die Prüfungsvorbereitung rechnen wollte.
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen muss.
Die Lösung laut Skript ist: [mm] \alpha_0=\alpha_1=1, \alpha_2=2, \alpha_3=1
[/mm]
Die Koeffizienten von p müssen das lineare Gleichungssystem erfüllen:
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } \vmat{ \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 }= \vmat{ f(-1) \\ f'(-1) \\ f(0) \\ f'(0) }\vmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
So, wie komme ich auf das Gleichungssystem? Woher leite ich mir die Alpha ab? Ich kann das nirgends erkennen oder ablesen. Ich weiß nicht nach welchem Schema das ganze aufgebaut sein soll. Kann mir das jemand Neandertalerverständlich erklären?
Vielen Dank!
Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Esperanza!
Leider erhalte ich weder Deine Lösung noch das genannte Gleichungssystem, um die einzelnen Koeffizienten [mm] $\alpha_{0...3}$ [/mm] zu bestimmen.
Meine Bestimmungsgleichungen lauten:
$p(0) \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$
$p'(0) \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1$
$p(1) \ = \ 0$
$p'(1) \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Esperanza |
hallo Loddar!
Danke für die Antwort. Das Problem ist, das es sich um eine Klausuraufgabe handelt die an unserer Uni geschrieben wurde. Die Lösungen dazu sind auch im Internet abrufbar gewesen und ich habe sie mir ausgedruckt und hier mit eingegeben. Ich gehe davon aus, dass die Lösung vom Prof. richtig ist, ist ja klar, muss ich ja....
Kannst du mir erläutern wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist? Ich weiß leider allgemein nicht wie man sowas angeht.
Esperanza
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Ah ok...hab gerade gesehen, dass ich mich in der Klausurlösung verirrt habe. Also deine Lösung ist richtig. Kannst du mir bitte trotzdem erklären wie ich am ende auf
[mm] \alpha_0=\alpha_1=1, \alpha_2=-5, \alpha_3=3
[/mm]
komme? Und auch wie ich auf die Lösung 1,1,0,0 komme?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 16.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Esperanza!
> [mm]\alpha_0=\alpha_1=1, \alpha_2=-5, \alpha_3=3[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das ist auch mein Ergebnis!
> komme? Und auch wie ich auf die Lösung 1,1,0,0 komme?
Unsere Funktion lautet ja:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x\le 0 \mbox{ } \\ \alpha_0+\alpha_1*x+\alpha_2*x^2+\alpha_3*x^3 & \mbox{für } 0
Damit gilt für die Ableitungsfunktion (hier müssen wir nun aber zunächst die Schnittstellen aussparen):
[mm] f'(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x< 0 \mbox{ } \\ \alpha_1+2*\alpha_2*x+3*\alpha_3*x^2 & \mbox{für } 0 1\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Damit diese Funktion nun stetig ist, muss auch an den Grenzstellen gelten (z.B. bei [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ f(0)$
linksseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}e^x [/mm] \ = \ [mm] e^0 [/mm] \ = \ 1 \ = \ f(0)$ (wegen $x \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 0$)
rechtsseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\left(\alpha_0+\alpha_1*x+\alpha_2*x^2+\alpha_3*x^3\right) [/mm] \ = \ [mm] \alpha_0+\alpha_1*0+\alpha_2*0^2+\alpha_3*0^3 [/mm] \ = \ [mm] \alpha_0+0+0+0 [/mm] \ = \ [mm] \alpha_0$
[/mm]
Durch Gleichsetzen hast Du damit also die erste Bestimmungsgleichung, die kurz formuliert lautet:
$p(0) \ = \ 1$
Genauso funktioniert das an der anderen Schnittstelle sowie der Differenzierbarkeit:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}f'(x)$
[/mm]
Hilft Dir das nun etwas weiter?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Danke für deine Antwort. Leider verstehe ich den Sinn der Aufgabe nicht. Was will ich bezwecken/erreichen?
Ich mach zuerst die Ableitung von den 3 Funktionen. Und dann prüf ich für jede Ableitung den Grenzwert von links und rechts ab? Wieso hast du von [mm] e^x [/mm] nur von links und von p(x) nur von rechts die Stetigkeit geprüft?
Was schneidet sich? Seh ni durch.
"Durch Gleichsetzen hast Du damit also die erste Bestimmungsgleichung, die kurz formuliert lautet:
$ p(0) \ = \ 1 $ "
Was hast du gleichgesetzt und was ist p(0)?
Und wie jetzt die alpha-werte zustandekommen weiß ich auch nicht.
Und mit dem Gleichungssystem kann ich auch nichts anfangen. Wie kommt das zustande? Ich seh da schwarz für die Klausur.
Hoffe ich nerv dich nicht mit dem Thema!
Esperanza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 18.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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