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Hallo,
Zeigen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass die Polynome p := [mm] x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-1 [/mm] und q := [mm] x^{3}+x [/mm] in [mm] \IR [/mm] [x] teilerfremd sind und bestimmen Sie die Polynome r, s [mm] \in \IR [/mm] [x] mit: rp+sq=1.
Okay - hier meine Überlegungen: Zwei Polynome sind teilerfremd, falls ihr ggt = 1 ist. Nun könnte ich ja die Polynomdivision einfach n-mal anwenden. Da die Polynome teilerfremd sind muss ja irgenwann "1" als Ergebnis kommen. Aber so ganz klar ist mir die Sache noch nicht.
Vielleicht kann mir einer von euch einen Tipp geben oder den ersten schritt mal vorrechnen. Dann kann ich ja weitermachen... wäre total nett :)
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p kann mann zerlegen, indem man x ausklammert: p = [mm] x(x^2+1), [/mm] und [mm] x^2+1 [/mm] kann man in IR nicht weiter zerlegen. Man sieht leicht, dass x=0 keine Nullstelle von q ist, also ist q nicht ohne Rest durch x teilbar. Polynomdivision von q : [mm] (x^2+1) [/mm] wird zeigen, dass auch das kein Teiler von q ist. Der Begriff Euklidischer Algorithmus sagt mir nichts, ich dachte es hilft dir wenn du schonmal einen anderen Lösungsweg hast.
Viele Grüße,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 15.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
himbeersenf hat dir ja schon ein einfache Methode geliefert, mit der du ggT(p,q)=1 ausrechnen kannst.
> Hallo,
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> Zeigen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass die
> Polynome p := [mm]x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-1[/mm] und q := [mm]x^{3}+x[/mm] in [mm]\IR[/mm]
> [x] teilerfremd sind und bestimmen Sie die Polynome r, s
> [mm]\in \IR[/mm] [x] mit: rp+sq=1.
>
> Okay - hier meine Überlegungen: Zwei Polynome sind
> teilerfremd, falls ihr ggt = 1 ist. Nun könnte ich ja die
> Polynomdivision einfach n-mal anwenden. Da die Polynome
> teilerfremd sind muss ja irgenwann "1" als Ergebnis kommen.
Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg, nur ist deine Beschreibung dieses Weges nicht präzise genug. Was du beschreibst, ist der Euklidische Algorithmus. Euklid gab in "Die Elemente" eine Methode an, den ggT zweier Zahlen zu berechnen: beschrieben zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier in Abschnitt 2.6 oder in der Wikipedia. Der Algorithmus lässt sich genauso zur Rechnung in einem beliebigen euklidischen Ring benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nochmal,
ich habe nun die Polynomdivision 3 mal durchgeführt und habe nun einen Rest, der nicht von x abhängt - nämlich [mm] -\frac{13}{25} [/mm] - aber für teilerfremdheit müsste ja 1 als Ergebnis kommen - oder?
Hier meine Divisionen mit dem jeweiligen Ergebnis - ich habe immer die Probe durch Multiplikation des Ergebnis mit dem Teiler und das habe ich addiert mit dem Rest, den ich errechnet habe.
1. Division: [mm] (x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-1) [/mm] : [mm] (x^{3}+x) [/mm] = x-2 Rest [mm] 2x^{2}+2x-1
[/mm]
2. Division: [mm] (x^{3}+x) [/mm] : [mm] (2x^{2}+2x-1) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}x-\frac{1}{2} [/mm] Rest [mm] \frac{5}{2}x-\frac{1}{2}
[/mm]
3. Division: [mm] (2x^{2}+2x-1) [/mm] : [mm] (\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}) [/mm] = [mm] \frac{4}{5}x [/mm] + [mm] \frac{24}{25} [/mm] Rest [mm] -\frac{13}{25}
[/mm]
Alles richtig soweit - oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 15.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal,
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> ich habe nun die Polynomdivision 3 mal durchgeführt und
> habe nun einen Rest, der nicht von x abhängt - nämlich
> [mm]-\frac{13}{25}[/mm] - aber für teilerfremdheit müsste ja 1 als
> Ergebnis kommen - oder?
Naja, nicht ganz, nur wenn du bei der Division immer mit Polynomen arbeitest, deren höchster Koeffizient 1 ist.
Wenn du am Anfang eines der beides Polynome mit 2 malnimmst und den Algorithmus nochmla durchführst, bekommst du eine etwas andere Zahl heraus. Dabei ändert sich an der Teilerfremdheit doch gar nichts.
> Hier meine Divisionen mit dem jeweiligen Ergebnis - ich
> habe immer die Probe durch Multiplikation des Ergebnis mit
> dem Teiler und das habe ich addiert mit dem Rest, den ich
> errechnet habe.
>
> 1. Division: [mm](x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-1)[/mm] : [mm](x^{3}+x)[/mm] = x-2 Rest
> [mm]2x^{2}+2x-1[/mm]
> 2. Division: [mm](x^{3}+x)[/mm] : [mm](2x^{2}+2x-1)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}[/mm] Rest [mm]\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}[/mm]
> 3. Division: [mm](2x^{2}+2x-1)[/mm] : [mm](\frac{5}{2}x-\frac{1}{2})[/mm] =
> [mm]\frac{4}{5}x[/mm] + [mm]\frac{24}{25}[/mm] Rest [mm]-\frac{13}{25}[/mm]
>
> Alles richtig soweit - oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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Danke. Ich werde das mal probieren mit dem "mal 2" - aber wieso muss man das machen? Weil die Koeffizienten eines Polynoms nur in Z sein dürfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Sa 15.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke. Ich werde das mal probieren mit dem "mal 2" - aber
> wieso muss man das machen? Weil die Koeffizienten eines
> Polynoms nur in Z sein dürfen?
In der Aufgabe geht's um Polynome aus [mm]\IR[x][/mm], da ist das kein Problem. Polynome sind teilerfremd, wenn es keinen Teiler vom Grad>0 gibt. Multiplikation mit einer Zahl spielt keine Rolle.
Im Polynomring [mm]\IZ[x][/mm] funktioniert der euklidische Algorithmus auch, aber man muss einige Verrenkungen machen, damit man nicht beliebige Zahlen durcheinander teilen muss.
Viele Grüße
Rainer
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Ich kappiers noch immer nicht. Ich habe jetzt beim einen Versuch das Zähler und beim anderen das Nennerpolynom vor der Rechnung mit 2 multipliziert und in beiden Fällen kommt recht schnell ein Bruch raus. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich kappiers noch immer nicht. Ich habe jetzt beim einen
> Versuch das Zähler und beim anderen das Nennerpolynom vor
> der Rechnung mit 2 multipliziert und in beiden Fällen kommt
> recht schnell ein Bruch raus. :(
Aber ein anderer Bruch als vorher, nicht wahr?
Der entscheidende Punkt ist, dass eine Zahl herauskommt und kein Polynom mit Grad>0, also sind beide teilerfremd.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe doch auch eine Zahl als Rest raus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 16.12.2007 | | Autor: | leduart |
Ja,
das versucht Rainer dir zu sagen, wenn du ne Zahl, also en polynom mit Grad 0 rauskriegst sind die Teilerfremd! (egal ob die Zahl 1 oder ein Bruch ist.
Gruss leduart
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Und wieso soll ich die Polynomdivision dann nochmals machen - mit einem der Polynome mit 2 multipliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 17.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
solltest du nicht!war ein Hinweis, dass duas auch so multipl. kannst dass ne 1 rauskommt.
Gruss leduart
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