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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 18.01.2011 | | Autor: | Hugo19 |
| Aufgabe | Gegeben sei ein normiertes Polynom fünften Grades P(z) mit reellen Koeffizienten.
(i) Das Polynom habe Nullstellen bei 2+i, 4−3i und 5. Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms an und stellen Sie P(z) mit komplexen Linearfaktoren dar.
(ii) Welche Konstellationen für Nullstellen (Anzahl reeller bzw. komplexer Nullstellen) sind für ein Polynom fünften Grades mit reellen Koeffizienten möglich? |
Hallo zusammen,
bei der angegebenen Aufgabe handelt es sich um einen Teil einer Probeklausur die wir zur Vorbereitung bekommen haben. Leider steh ich hier grad völlig auf dem Schlauch.
Soweit ich weiß kann man wenn man alle Nullstellen multipliziert das Polynom erstellen, allerdings hat man hier ja nicht mal alle Nullstellen.. Woher bekomm ich die wenn ich gar kein Polynom habe?
Hatte bis jetzt nur mit einfacher Polynomdivision zu tun, aber das hier überfordert mich völlig :-D
Vielen vielen Dank schonmal
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Wenn das Polynom P(x) = [mm] a_5x^5 [/mm] + [mm] a_4x^4 [/mm] + [mm] a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] nur reelle Koeffizienten hat, gilt folgender Sachverhalt:
Sei z eine Komplexe Nullstelle. Dann gilt: P(z)=0. Nun konjugierst du die linke und die rechte Seite (d.h. beim imaginären Anteil wird das Vorzeichen geändert):
[mm] \overline{P(z)}=\overline{0}=0.
[/mm]
Da P ein Polynom ist, also zunächst eine Summe, lässt sich das Konjugieren auf die einzelnen Summanden verteilen:
[mm] \overline{a_5z^5} [/mm] + [mm] \overline{a_4z^4} [/mm] + [mm] \overline{a_3z^3} [/mm] + [mm] \overline{a_2z^2} [/mm] + [mm] \overline{a_1z} [/mm] + [mm] \overline{a_0}= [/mm] 0
Dasselbe gilt auch für ein Produkt und damit für eine Potenz:
[mm] \overline{a_5}*\overline{z}^5 [/mm] + [mm] \overline{a_4}* \overline{z}^4 [/mm] + [mm] \overline{a_3}*\overline{z}^3 [/mm] + [mm] \overline{a_2}*\overline{z}^2 [/mm] + [mm] \overline{a_1}* \overline{z} [/mm] + [mm] \overline{a_0}= [/mm] 0
Da die [mm] a_i [/mm] aber reell sind, bewirkt das Konjugieren (wie bei der 0) nichts, man kann es somit lassen und erhält
[mm] a_5*\overline{z}^5 [/mm] + [mm] a_4* \overline{z}^4 [/mm] + [mm] a_3*\overline{z}^3 [/mm] + [mm] a_2*\overline{z}^2 [/mm] + [mm] a_1* \overline{z} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0
Insgesamt: [mm] P(\overline{z})=0 [/mm] oder:
Ist z Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, so auch [mm] \overline{z}. [/mm] Damit dürfte es dir nicht schwer fallen, die anderen beiden fehlenden Nullstellen anzugeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Di 18.01.2011 | | Autor: | Hugo19 |
Vielen Dank schonmal!!! Werd gleich mal morgen früh versuchen da durchzusteiegen, für heute reichts mir erst mal mit Mathe ;)
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