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| Aufgabe | f(x) = x³ + 10x² + 7x - 18
Gegeben : [mm] x_{1} [/mm] = 1 |
"Überlege, wie viele Nullstellen die Funktion f haben kann. Bestätige, dass die Funktion f die angegebene Nullstelle hat.
Berechne anschließend weitere Nullstellen von f"
Wie ich vorgehen möchte :
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie man nur durch ablesen, erkennt wie viele Nullstellen eine Funktion hat - würde aber aus "Erfahrung" einfach mal "3" sagen.
Ich würde zunächst eine Polynomdivision machen, also Funktion f durch (x-1) rechnen (weil wir ja x=1 haben).
Aus dem Ergebnis heraus würde ich dann weiter entscheiden mit welchemm Verfahren ich arbeite.
Aber wie erkenne ich die Anzahl der Nullstellen ? Bitte auch eure Aussage begründen :)
2.) Frage
Diese Frage hat nichts mit der oberen Aufgabe zutun und ist einfach nur allgemein :
Angenommen ich soll durch gezieltes Probieren die Nullstellen aus einer Funktion f herausfinden - wie gehe ich dabei vor ?
3.) Frage
Wie gehe ich vor, wenn ich nur zwei Nullstellen gegeben hab und eine ganzrationale Funktion angeben muss ?
Ich bedanke mich im voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine quadratische funktion hat i.a. 2 Nullstellen,(oder eine "doppelte" oder keine deshalb eine dritten Grades maximal 3 Nst, minimal eine.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Di 06.12.2011 | | Autor: | BlackClown |
Danke, leduart.
Dann wären nur noch Frage 2 und Frage 3 zu beantworten.
Danke im voraus :)
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Hallo BlackClown, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(x) = x³ + 10x² + 7x - 18
>
> Gegeben : [mm]x_{1}[/mm] = 1
> "Überlege, wie viele Nullstellen die Funktion f haben
> kann. Bestätige, dass die Funktion f die angegebene
> Nullstelle hat.
> Berechne anschließend weitere Nullstellen von f"
>
> Wie ich vorgehen möchte :
>
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie man nur durch ablesen,
> erkennt wie viele Nullstellen eine Funktion hat - würde
> aber aus "Erfahrung" einfach mal "3" sagen.
Dazu siehe leduarts Antwort.
Allgemein gilt bei Polynomen: ist die höchste Potenz ungerade, dann hat das Polynom mindestens eine Nullstelle, ansonsten aber eine ungerade Zahl von Nullstellen. Ist die höchste Potenz gerade, dann hat das Polynom keine Nullstelle oder eine gerade Zahl von Nullstellen.
Diese Aussage geht allerdings davon aus, dass doppelte, dreifache etc. Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden.
> Ich würde zunächst eine Polynomdivision machen, also
> Funktion f durch (x-1) rechnen (weil wir ja x=1 haben).
> Aus dem Ergebnis heraus würde ich dann weiter entscheiden
> mit welchemm Verfahren ich arbeite.
Ja, richtig.
> Aber wie erkenne ich die Anzahl der Nullstellen ? Bitte
> auch eure Aussage begründen :)
Das erkennst Du erst nach der Polynomdivision, es sei denn, Du hast zufällig schon ein paar Werte bestimmt wie z.B. f(-10)=-88, f(-4)=50, f(0)=-18, f(3)=120. Wenn Du gerade diese Werte hättest, wüsstest Du sofort, dass f(x) mindestens drei Nullstellen hat.
Zugleich kann ein Polynom maximal soviele Nullstellen haben, wie sein Grad ist (also die höchste auftauchende Potenz), hier also 3.
mindestens 3, höchstens 3...
> 2.) Frage
> Diese Frage hat nichts mit der oberen Aufgabe zutun und
> ist einfach nur allgemein :
>
> Angenommen ich soll durch gezieltes Probieren die
> Nullstellen aus einer Funktion f herausfinden - wie gehe
> ich dabei vor ?
Bei einem normierten Polynom (Koeffizient 1 vor der höchsten Potenz) mit ganzzahligen Koeffizienten sind alle rationalen Nullstellen ganzzahlig und ein echter Teiler des absoluten Gliedes. Da kämen hier ja schon einige in Frage: [mm] \pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18.
[/mm]
> 3.) Frage
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> Wie gehe ich vor, wenn ich nur zwei Nullstellen gegeben hab
> und eine ganzrationale Funktion angeben muss ?
Sonst keine Bedingungen? Dann könntest Du einfach eine Parabel nehmen und sie entsprechend verschieben.
Grüße
reverend
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Danke, reverend
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> > 3.) Frage
> >
> > Wie gehe ich vor, wenn ich nur zwei Nullstellen gegeben hab
> > und eine ganzrationale Funktion angeben muss ?
>
> Sonst keine Bedingungen? Dann könntest Du einfach eine
> Parabel nehmen und sie entsprechend verschieben.
>
> Grüße
> reverend
>
Gibt es auch eine Möglichkeit diese Aufgabe rechnersich zu lösen ?
Als einzige Bedingung wird "möglichst niedriger Grad" genannt.
Trotzdem danke nochmal :)
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Hallo nochmal,
> > > Wie gehe ich vor, wenn ich nur zwei Nullstellen gegeben hab
> > > und eine ganzrationale Funktion angeben muss ?
> >
> > Sonst keine Bedingungen? Dann könntest Du einfach eine
> > Parabel nehmen und sie entsprechend verschieben.
>
> Gibt es auch eine Möglichkeit diese Aufgabe rechnersich zu
> lösen ?
> Als einzige Bedingung wird "möglichst niedriger Grad"
> genannt.
Das kannst Du doch alles rechnerisch machen. Eine Parabel ist der Graph eines Polynoms mit dem niedrigstmöglichen Grad. Bei zwei Nullstellen musst Du ja mindestens eine quadratische Funktion haben.
Wenn [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] die beiden gegebenen Nullstellen sind, dann hat das gesuchte Polynom die Form [mm] f(x)=a*(x-n_1)*(x-n_2), [/mm] wobei [mm] a\not=0 [/mm] frei wählbar ist, also auch z.B. 1 sein darf. 
Dann hätte man [mm] f(x)=x^2-(n_1+n_2)x+n_1n_2.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 06.12.2011 | | Autor: | BlackClown |
Ah, ich verstehe. Danke dir :)
ich hab jetzt mal das obrige Beispiel durchgearbeitet :
(x³ + 10x² + 7x - 18) : (x-1) = x² + 11x +18
Dann hab ich dir P-Q Formel angewendet und bin zu diesen Ergebnissen gekommen :
[mm] x_{1} [/mm] = -2
[mm] x_{2} [/mm] = 9
Das hab ich dann in die faktorisierte Form geschrieben :
F(x) = (x-1) (x+2) (x-9)
So kann man dann die Nullstellen direkt ablesen.
Was sagt ihr ?
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| Aufgabe | Die ganzrationale Funktion :
f(x) = (x³ - 3x² - 6x + 18) : (x-3) = x² - 6 |
Hallo,
ich hätte noch eine weitere Frage :
Die ganzrationale Funktion :
f(x) = (x³ - 3x² - 6x + 18) : (x-3) = x² - 6
Welches Verfahren der Linearfaktorzerlegung wende ich hier an ?
Ausklammern funktioniert nicht, da beide Terme in der Funktion nichts gemeinsam haben, binomische Formel funktioniert auch nicht, und Substitution sowieso nicht. Was kann ich tun ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die ganzrationale Funktion :
> f(x) = (x³ - 3x² - 6x + 18) : (x-3) = x² - 6
> Hallo,
> ich hätte noch eine weitere Frage :
>
> Die ganzrationale Funktion :
> f(x) = (x³ - 3x² - 6x + 18) : (x-3) = x² - 6
>
> Welches Verfahren der Linearfaktorzerlegung wende ich hier
> an ?
Was meinst Du damit ?
Es ist [mm] $(x^3- 3x^2 [/mm] - 6x + 18) =(x-3) [mm] (x^2- [/mm] 6)= [mm] (x-3)(x-\wurzel{6})(x+\wurzel{6})$
[/mm]
Oder meinst Du:
warum [mm] $(x^3- 3x^2 [/mm] - 6x + 18) :(x-3) [mm] =(x^2- [/mm] 6)$ gilt ?
Das siehst Du mit Pölynomdivision.
FRED
> Ausklammern funktioniert nicht, da beide Terme in der
> Funktion nichts gemeinsam haben, binomische Formel
> funktioniert auch nicht, und Substitution sowieso nicht.
> Was kann ich tun ?
>
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Nein, ich mein das anders. :D
Beispiel :
1.)
f(x) = 3x -6
Hier haben wir die Möglichkeit durch Ausklammern auf diese Produktform zu kommen :
f(x) = 3(x-2)
2.)
f(x) = x2 - 6x + 9
Hier helfen uns die binomischen Formeln :
f(x) = (x-3)²
Aber was mache ich, wenn ich diese Summenform bekomme :
f(x) = x²-6
Keine der Verfahren kann ich hier nutzen.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nein, ich mein das anders. :D
>
> Beispiel :
> 1.)
> f(x) = 3x -6
>
> Hier haben wir die Möglichkeit durch Ausklammern auf diese
> Produktform zu kommen :
>
> f(x) = 3(x-2)
> 2.)
> f(x) = x2 - 6x + 9
>
> Hier helfen uns die binomischen Formeln :
>
> f(x) = (x-3)²
>
> Aber was mache ich, wenn ich diese Summenform bekomme :
>
> f(x) = x²-6
>
> Keine der Verfahren kann ich hier nutzen.
Doch: binomische Formel: [mm] x^2-6=(x-\wurzel{6})(x+\wurzel{6})
[/mm]
FRED
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> liebe Grüße
>
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