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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
| Aufgabe | | Geben Sie zu [mm] P(z)=2iz^2-2z+1-i [/mm] und Q(z)=(1+i)z Polynome S und R an, so dass die Darstellung gilt: P(z)=S(z)Q(z)+R(z) |
Hallo,
mein Ansatz ist, dass ich P(z) durch Q(z) teile, damit ich S und R ausrechnen kann (korrekt?)
Wenn ja, wie berechne ich das folgende Polynom?
(2iz² - 2z + 1 - i):(iz+z) = 2z + [mm] (\bruch{-2z - 2z^2 + 1 -i}{iz+z})
[/mm]
stimmt dieses ergebnis? Oder kann man das Polynom noch weiter auflösen?
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Hallo Phil92,
> Geben Sie zu [mm]P(z)=2iz^2-2z+1-i[/mm] und Q(z)=(1+i)z Polynome S
> und R an, so dass die Darstellung gilt: P(z)=S(z)Q(z)+R(z)
> Hallo,
>
> mein Ansatz ist, dass ich P(z) durch Q(z) teile, damit ich
> S und R ausrechnen kann (korrekt?)
>
> Wenn ja, wie berechne ich das folgende Polynom?
>
> (2iz² - 2z + 1 - i):(iz+z) = 2z + [mm](\bruch{-2z - 2z^2 + 1 -i}{iz+z})[/mm]
>
> stimmt dieses ergebnis?
Nein, schon 2z stimmt nicht, wie du schnell durch umgekehrets Multiplizieren überprüfen kannst:
[mm]2z(iz+z)=2iz^2+2z^2=2z^2(i+1)\neq 2iz^2[/mm]
Um den passenden Koeffizienten zu finden, setze an:
[mm](2iz^2-2z+1-i):(1+i)z=...[/mm]
Überlege, womit du [mm](1+i)[/mm] multiplizieren musst, um auf [mm]2i[/mm] zu kommen:
Also [mm](1+i)x=2i\Rightarrow x=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{2}=i(1-i)=1+i[/mm]
Nun nochmal weiter ...
> Oder kann man das Polynom noch
> weiter auflösen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Ich kann deinen Weg bis auf eine STelle nicht nachvollziehen. Ich weiß ja, dass (1+i)*(1+i) = 2i ist. Aber in der Polynomdivision steht ja, dass ich durch (1+i)*z teile. Was mache ich nun mit dem z? Multipliziere ich es einfach mit dem 2i, sodass ich eigentlich 2iz von P(Z) abziehe?
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Hallo nochmal,
> Ich kann deinen Weg bis auf eine STelle nicht
> nachvollziehen. Ich weiß ja, dass (1+i)*(1+i) = 2i ist.
> Aber in der Polynomdivision steht ja, dass ich durch
> (1+i)*z teile. Was mache ich nun mit dem z? Multipliziere
> ich es einfach mit dem 2i, sodass ich eigentlich 2iz von
> P(Z) abziehe?
Ähh, das ist (mir) gerade zu diffus:
Ich mache mal den Anfang:
[mm](2iz^2-2z+1-i):\red{(1+i)z}=\blue{(1+i)z}[/mm]
Nun blau mit rot multiplizieren und unter [mm]P(z)[/mm] schreiben:
Nebenrechnung: [mm]\green{(1+i)z(1+i)z=2iz^2}[/mm]
[mm](2iz^2-2z+1-i):\red{(1+i)z}=\blue{(1+i)z}[/mm]
[mm]-\green{2iz^2}[/mm]
[mm]______________[/mm]
[mm]\ \ \ \ \ -2z+1-i[/mm]
Nun der nächste Schritt:
Überlege, womit du [mm](1+i)z[/mm] multiplizieren musst, um auf [mm]-2z[/mm] zu kommen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Ach soo. Danke für den ersten Rechenschritt.
Dann müsste ich jetzt (um die -2z wegzubekommen) rechnen:
-2 = x*(1+i). Durch umstellen komme ich auf x = 1-i
Dass heißt, wenn ich (1-i)z *(1+i)Z rechne, müsste -2z rauskommen.
Ich hoffe, das ist jetzt richtig :s
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Hallo nochmal,
> Ach soo. Danke für den ersten Rechenschritt.
> Dann müsste ich jetzt (um die -2z wegzubekommen)
> rechnen:
>
> -2 = x*(1+i). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Durch umstellen komme ich auf x = 1-i
Ja? Ich komme auf [mm]i-1[/mm] ...
>
> Dass heißt, wenn ich (1-i)z *(1+i)Z rechne, müsste -2z
> rauskommen.
>
Das rote z ist zuviel und das VZ stimmt nicht.
Es ist [mm]P(z):(1+i)z=(1+i)z+(i-1)+\text{Restterm}[/mm]
Gruß
schachuzipus
> Ich hoffe, das ist jetzt richtig :s
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