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| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Potenzreihenentwicklung von tan(x) durch Polynomdivision der Potenzreihen von sin(x) und cos(x). |
Hallo,
ich zweifle gerade an meinem Verstand. Ich kriege es einfach nicht auf die Reihe diese Polynomdivision durchzuführen, also:
sin(x):cos(x)=tan(x)
[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)
[/mm]
Gut ich würde jetzt normalerweise anfangen ddie höchste Potenz von x zu teilen, also eigentlich [mm] \bruch{x^5}{5!}:\bruch{x^4}{4!} [/mm] dann rückmultiplizieren und abziehen.
In dem mir vorliegenden Buch machen Sie das aber irgendwie anders, es schaut aus, als ob sie zuerst durch 1 dividieren, dann steht dort:
[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)=x+\bruch{x^3}{3}+\bruch{2}{15}*x^5
[/mm]
[mm] -\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right)
[/mm]
_______________
[mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30}
[/mm]
[mm] -\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right)
[/mm]
_______________
[mm] \bruch{2}{15}*x^5..., [/mm] etc.
Was haben die da gemacht ? Ich kriegs selbst nicht hin. Was passiert nach der ersten Division durch 1 ? ich komme noch auf [mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm] danach gehts nicht mehr... Ich hätte dort normalerweise durch [mm] x^4 [/mm] dividiert, aber das scheint falsch zu sein...
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte... Ich verzweifle gerade ein wenig.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Do 08.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
> [mm]\bruch{x^5}{5!}:\bruch{x^4}{4!}[/mm] dann rückmultiplizieren
> und abziehen.
was man bei Polynomdivision nicht immer machen muss, ist direkt mit dem höchsten Exponenten anzufangen. Beginne am besten immer am Anfang.
Hier ist der Anfang als x so wie es in der Lösung schon richtig gemacht wurde...
> In dem mir vorliegenden Buch machen Sie das aber irgendwie
> anders, es schaut aus, als ob sie zuerst durch 1
> dividieren, dann steht dort:
wieso durch 1?
Gehen wir die Rechnung am besten mal Schrittweise durch:
[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)=x+\bruch{x^3}{3}+\bruch{2}{15}*x^5
[/mm]
[mm] -\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right) [/mm] (*)
_______________
[mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm] (**)
[mm] -\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right) [/mm] (***)
_______________
[mm] \bruch{2}{15}*x^5..., [/mm] etc. (****)
(*) Folgt aus [mm] \left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)*x=\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right)
[/mm]
(**) Folgt aus [mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right)-\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right)=\left(x-x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)
[/mm]
[mm] =\left(x^3(-\bruch{1}{1*2*3}+\bruch{1}{1*2})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left(x^3(-\bruch{1}{1*2*3}+\bruch{3}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)
[/mm]
[mm] =\left(x^3(\bruch{3-1}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left(x^3(\bruch{2}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)
[/mm]
[mm] =\left(x^3(\bruch{1}{3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left((\bruch{x^3}{3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=...=\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30}
[/mm]
Für die ... musst du das ganze für [mm] x^5 [/mm] dann noch einmal genau nach dem Schema für [mm] x^3 [/mm] machen und schon hast du das gewünschte.
(***) Folgt aus [mm] \left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)*\bruch{x^3}{3}=\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right)
[/mm]
Jetzt genauso wie bei (**) verfahren und schon folgt (****)
> Was haben die da gemacht ? Ich kriegs selbst nicht hin. Was
> passiert nach der ersten Division durch 1 ? ich komme noch
> auf [mm]\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30}[/mm] danach gehts nicht
> mehr... Ich hätte dort normalerweise durch [mm]x^4[/mm] dividiert,
> aber das scheint falsch zu sein...
>
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte... Ich
> verzweifle gerade ein wenig.
>
> LG
Gruß Fawkes
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