Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo!
Bei folgender Frage habe ich Null Komma gar keine Ahnung wie das gehen soll. Wer kann mir die Aufgabe in einigermaßen verständlichen Worten erklären und mir einen Ansatz geben?
Aufgabe:
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper.
(i) Zeigen Sie: Wenn die Polynome g,h Elemente des allgemeinen Polynomrings K[t] sind und keine gemeinsamen Nullstellen haben, dann sind g und h teilerfemd.
Lösungsansatz(?!): Ich kann die Polynome ja als Produkt ihrer Linearfaktoren darstellen. Wären zwei Linearfaktoren gleich, dann könnte ich beide Polynome ja durch eben diesen Faktor teilen und beide hätten folglich einen gemeinsamen Teiler. Da beide aber keine gemeinsamen Nullstellen haben, haben sie auch keine gemeinsamen Linearfaktoren und folglich sind sie teilerfrei.
Sollte dies stimmen: Wie kann ich das mathematisch schreiben?!
(ii) Für ein Polynom f= [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm][mm]f_k[/mm][mm]t^k[/mm] definiere man die "Ableitung" als das Polynom f'=[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm][mm]kf_k[/mm][mm]t^k^-^1[/mm]. Zeigen Sie, dass (fg)'=f'g + fg'
Vielen lieben Dank,
Sabine_
P.S.: Die Vorlesung LA II ist eine Katastrophe.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 09.11.2004 | | Autor: | Didi |
Hi,
Ich kann dir zwar leider keine Hilfe geben, da ich über den selben Aufgaben verzweifel ;-( , aber ich kann dir wirklich zustimmen; die Vorlesung ist eine einzige Katastrophe und der Dozent eine noch größere!
Zur (i) haben wir von unserem ÜB-Leiter einen Tip bekommen, wie wir die Aufagbe angehen könnten:
p(x) = [mm] \produkt [/mm] (x- [mm] \alpha_{i})
[/mm]
q(x) = [mm] \produkt [/mm] (x- [mm] \beta_{i})
[/mm]
[mm] \alpha_{r} [/mm] = [mm] \beta_{s}
[/mm]
f(x) = [mm] (x-a)^2*g(x) [/mm] (hat doppelte Nullstelle)
f'(x) = [mm] (x-a)^2*q'(x)+(x-\alpha)2q [/mm] = [mm] x-\alpha
[/mm]
Hoffe, dass dir das etas hilft, falls du keine bessere Hilfestellung bekommst. Ich jedenfalls komm damit nicht so recht weiter und hoffe noch auf bessere Vorschläge  .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 09.11.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo!
Also mir hilft das auch nicht. Habe heute auch noch mit ein paar anderen gesprochen...keiner hat da nen Durchblick!
Vielleicht jemand hier im Matheraum?! Wäre echt super nett, denn so langsam verlier ich dann echt den Mut....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo Sabine!
Also, die Aufgabe ist ziemlich simpel und reine Rechnerei. Ich fange sie jetzt mal an in der Hoffnung, dass ihr sie dann alleine zu Ende hinbekommt. 
Es gilt:
$(fg)(t) = \sum\limits_{k=0}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k f_l g_{k-l} \right] t^k$,
also:
$(fg)'(t) = \sum\limits_{k=0}^{2n} k \left[ \sum\limits_{l=0}^k f_l g_{k-l} \right] t^{k-1}$
$= \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k k f_l g_{k-l} \right] t^{k-1}$
$= \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k l f_l g_{k-l} + (k-l) f_l g_{k-l} \right] t^{k-1}$
$= \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k l f_l g_{k-l}\right] t^{k-1} + \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k (k-l) f_l g_{k-l} \right] t^{k-1}$
$= \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k l f_l g_{k-l}\right] t^{k-1} + \sum\limits_{k=1}^{2n} \left[ \sum\limits_{l=0}^k l g_l f_{k-l} } \right] t^{k-1}$
$= \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=0}^{k+1} l f_l g_{k+1-l}\right] t^k + \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=0}^{k+1} l g_l f_{k+1-l} } \right] t^k}$
$= \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=1}^{k+1} l f_l g_{k+1-l}\right] t^k + \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=1}^{k+1} l g_l f_{k+1-l} } \right] t^k}$
$= \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=0}^{k} (l+1) f_{l+1} g_{k-l}\right] t^k + \sum\limits_{k=0}^{2n-1} \left[ \sum\limits_{l=0}^{k} (l+1) g_{l+1} f_{k-l} } \right] t^k}$
$= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)f_{k+1}t^k \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} g_k t^k + \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)g_{k+1}t^k \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} f_k t^k$
$= \sum\limits_{k=1}^{n} kf_{k}t^{k-1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} g_k t^k + \sum\limits_{k=1}^{n} kg_{k}t^{k-1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} f_k t^k$
$= \sum\limits_{k=0}^{n} kf_{k}t^k \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} g_k t^k + \sum\limits_{k=0}^{n} kg_{k}t^k \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} f_k t^k$
$= \sum\limits_{k=0}^{n} kf_{k}t^{k-1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} g_k t^k + \sum\limits_{k=0}^{n} kg_{k}t^{k-1} \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} f_k t^k$
$= (f'g + g'f)(t)$.
Oh, Mist, jetzt habe ich es ja doch komplett vorgerechnet. Ich hoffe mal du kannst mir das noch einmal verzeihen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 11.11.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für das Lösen der zweiten Aufgabe. Kann mir aber vielleicht jemand sagen, ob ich die erste Aufgabe richtig verstanden bzw. gelöst habe?
Ich habe mir folgendes gedacht:
Man kann jedes Polynom als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben. Das hieße dann für die Polynome h und g:
h(x)=(x-a1)*(x-a2)*...*(x-am)
g(x)=(a-b1)*(x-b2)*...*(x-bn)
Da beide keine gemeinsamen Nullstellen haben, gilt folgendes:
a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B und A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset
[/mm]
Folglich finde ich keine gemeinsamen Linearfunktionen von h und g und beide sind deshalb teilerfrei.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sabine
> h(x)=(x-a1)*(x-a2)*...*(x-am)
> g(x)=(a-b1)*(x-b2)*...*(x-bn)
Wer sagt, dass die Polynome normiert sind?
> Da beide keine gemeinsamen Nullstellen haben, gilt
> folgendes:
>
> a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B und A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset
[/mm]
Was ist $A$? Was ist $a$? Was ist $B$? Was ist $b$? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Hätten $h$ und $g$ einen gemeinsamen (nicht-trivialen) Teiler, dann gäbe es ein Polynom $q$ mit
$grad(q)>1$ und
$h(x) = q(x) [mm] \cdot s_1(x)$,
[/mm]
$g(x)= q(x) [mm] \cdot s_2(x)$.
[/mm]
Da [mm] $\IK$ [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, besitzt $q$ eine Nullstelle in [mm] $\IK$. [/mm] Aber eine Nullstelle [mm] $x_0 \in \IK$ [/mm] von $q$ ist auch wegen
[mm] $h(x_0) [/mm] = [mm] q(x_0) \cdot s_1(x_0) [/mm] = 0 [mm] \cdot s_1(x_0) [/mm] = 0$
und
[mm] $g(x_0) [/mm] = [mm] q(x_0) \cdot s_2(x_0) [/mm] = 0 [mm] \cdot s_2(x_0) [/mm] = 0$
eine Nullstelle von $h$ bzw. $g$, im Widerspruch dazu, dass $h$ und $g$ keine gemeinsamen Nullstellen besitzen.
Liebe Grüße
Julius
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