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| Aufgabe | | Zerlegen Sie [mm] f(x)=x^{5}+1 [/mm] so weit wie möglich in ein Produkt reeler Polynome. |
Guten Morgen,
Wenn ich das berechne kommen ziemlich komplizierte Terme raus.
Aber der Prof. von dem die Klausuraufgabe stammt, macht sowas eigentlich nicht.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke im Vorraus.
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Offensichtlich ist ja -1 eine Nullstelle, also kann der Linearfaktor [mm]x+1[/mm] abgespalten werden. Das verbleibende biquadratische Polynom kann in zwei quadratische Polynome zerlegt werden. Mache den Ansatz [mm](x^2 + ax + 1) \cdot (x^2 + bx + 1)[/mm] und führe einen Koeffizientenvergleich durch.
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Also ich hatte mal als ersten von 5 Zeigern
[mm] z_1=\bruch{{\wurzel{5}+1}}{4}+j\bruch{\wurzel{\wurzel{5}-5}}{4}
[/mm]
Kann das jemand bestätigen?
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> Also ich hatte mal als ersten von 5 Zeigern
>
> [mm]z_1=\bruch{{\wurzel{5}+1}}{4}+j\bruch{\wurzel{\wurzel{5}-5}}{4}[/mm]
>
> Kann das jemand bestätigen?
Hallo,
Du sollst das Polynom doch soweit wie möglich in reelle Polynome zerlegen.
Hast Du Leopold_Gasts Hinweis umgesetzt, (x+1) abgespalten und das verbliebene Polynom in zwei quadratische zerlegt?
Gruß v. Angela
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Also ich bin da irgendwie zu dumm für. Wenn ich das abspalte bleibt [mm] x^{4}-\bruch{3}{x+1} [/mm] stehen. Und wie soll ich das weiter aufspalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mo 03.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo thorsten
Kannst du keine Plynomdivision? Dann seh in der Mathebank nach und lerns!
Wenn du schriftlich 121224:12 rechnest, sagst du doch auch nicht
das hilft nix das ist 10000+1224/12 !
Gruss leduart
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Habe nochmal nachgerechnet
[mm] \bruch{x^{5}+1}{x+1}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1
[/mm]
Allerdings hatten wir in ähnlichen Aufgaben so gerechnet wie ich oben. Da haben sich später die Imaginärteile irgendwie verabschiedet.
Lasse mich aber gerne eines besseren belehren. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Torsten!
> Habe nochmal nachgerechnet [mm]\bruch{x^{5}+1}{x+1}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Und um das Polynom [mm] $x^4-x^3+x^2-x+1$ [/mm] weiter zu zerlegen, solltest Du nun Leopold's Tipp umsetzen ...
Gruß
Loddar
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Also ich habe das ( wie in der Vorlesung auch) mit den komplexen Zeigern weitergerechnet und kam dann auf
[mm] x^{5}+1=(x+1)(x+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1)
[/mm]
Ist das richtig?
Meint ihr euer Weg ist einfacher?
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> Also ich habe das ( wie in der Vorlesung auch) mit den
> komplexen Zeigern weitergerechnet und kam dann auf
> [mm]x^{5}+1=(x+1)(x+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1)[/mm]
> Ist das richtig?
Hallo,
das kannst Du selbst durch Ausmultiplizieren herausfinden.
Es muß ja [mm] (x^2+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1) [/mm] dasselbe sein wie [mm] x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 [/mm] ,
und das ist nicht der Fall, wenn ich mir den Faktor vor [mm] x^3 [/mm] anschaue.
> Meint ihr euer Weg ist einfacher?
Einfach kommt einem meist das vor, was man gut kann. Was einfacher ist, solltest Du im Vergleich entscheiden.
Für mich wäre Leopold_Gasts Weg einfacher, schon deshalb, weil ich äußerst ungern mit komplexen zahlen herumwurschtele.
Gruß v. Angela
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Ich zweifel langsam an meinen Mathekenntnissen.
[mm] (x²+ax+1)(x²+bx+1)=x^{4}+bx³+x²+ax³+abx²+ax+x²+bx+1
[/mm]
Jetzt den Koeff.vergleich:
-1=b+a
1=a*b
-1=a+b
==> keine Lösung???????????
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Do 06.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich zweifel langsam an meinen Mathekenntnissen.
> [mm](x²+ax+1)(x²+bx+1)=x^{4}+bx³+x²+ax³+abx²+ax+x²+bx+1[/mm]
>
> Jetzt den Koeff.vergleich:
> -1=b+a
> 1=a*b
Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist [mm]a*b=-1[/mm].
Grüße
Rainer
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> >
> > Jetzt den Koeff.vergleich:
> > -1=b+a
> > 1=a*b
>
> Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist
> [mm]a*b=-1[/mm].
>
> Grüße
> Rainer
Genau das ist ja das Prob!!!!!!!!!!!!
Die beiden Gleichungen kann man nicht auflösen, ohne das die Lösung komplex wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 10.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> > > Jetzt den Koeff.vergleich:
> > > -1=b+a
> > > 1=a*b
> >
> > Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist
> > [mm]a*b=-1[/mm].
> >
> > Grüße
> > Rainer
>
>
> Genau das ist ja das Prob!!!!!!!!!!!!
> Die beiden Gleichungen kann man nicht auflösen, ohne das
> die Lösung komplex wird.
Das ist nicht richtig. Das Gleichungssystem
[mm]a*b=-1[/mm]
[mm]a+b=-1[/mm]
hat nur reelle Lösungen.
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Durch Umformen zu $b \ = \ [mm] -\bruch{1}{a}$ [/mm] sowie Einsetzen in $a+b \ = \ -1$ erhalte ich:
[mm] $$a-\bruch{1}{a} [/mm] \ = \ -1$$
Nun mit $a_$ multiplizieren und die entstehende quadratische Gleichung lösen ...
Gruß
Loddar
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Habe ich schon gemacht:
Aus [mm] a-\bruch{1}{a} [/mm] \ = \ -1 fogt a²+a-1=0
Dann habe ich [mm] a=-\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
oder [mm] a=-\bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
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Aber welches nehme ich zum weiterrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Berechne doch mal jeweils die zugehörigen Werte für $b \ = \ [mm] -\bruch{1}{a}$ [/mm] .
Was fällt auf?
Gruß
Loddar
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b= [mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}} [/mm] = 0,618 0der
b= [mm] \bruch{2}{1-\wurzel{5}} [/mm] = -1,618
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Mache diese Brüche doch mal rational durch entsprechendes Erweitern mit [mm] $1\pm\wurzel{5}$ [/mm] .
Oder berechne die Zahlenwerte von den beiden $a_$'s ... was fällt Dir auf?
Gruß
Loddar
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ja mein Gott wie kann man nur so auf der Leitung stehen.
Also muss ich nur noch einsetzen?
[mm] (x²-\bruch{1+{\wurzel{5}}}{2}+1)*(x+1)*(x²-\bruch{1-{\wurzel{5}}}{2}+1)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Da fehlen jetzt nur noch die zwei $x_$-Terme:
[mm] $$x^5+1 [/mm] \ = \ [mm] (x+1)*\left(x^2-\bruch{1+{\wurzel{5}}}{2}*\red{x}+1\right)*\left(x^2-\bruch{1-{\wurzel{5}}}{2}*\red{x}+1\right)$$ [/mm]
Gruß
Loddar
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Vielen Dank. Ich rechne gleich die anderen Aufgaben in der Hoffnug das ich die alleine oder fast alleine schaffe.
Gruß
Torsten
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Habe das Ergebnis zwar nochnicht durch ausmultipliziern kontrolliert, bin aber für die Hilfe dankbar. Nur was mich immer noch nicht so ganz zufriedenstellt, ist die tatsache, das die Übungsaufgabe aus dem Teilbereich komplexe Mathematik kommt, und das wir ein ganz ähnliches beispiel mit Zeigern gelöst haben. Gibt es da auch noch ne Möglichkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 10.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst doch nur die Nullstellen von [mm] x^5+1=0 [/mm] also die 5 verschiedenen 5-ten Wurzeln aus -1.
die liegen auf dem Einheitskreis und wenn du -1 als Pfeil zeichnestalso in 180° Richtung, sind die 5 Wurzeln dann bei [mm] x_i=(180+i*360)/5 [/mm] i=0 bis 4
Dann bist du sofort fertig:
[mm] x^5+1=\produkt_{i=0}^{4}(x-x_i)
[/mm]
Dann nimmst du davon die reellen und bist fertig. und hast auch gleich noch die komplexe Zerlegung.
Gruss leduart
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So ähnlich hatte ich das ursprünglich auch.
ich hatte:
[mm] z_{1}=1*e^{j36^{o}}
[/mm]
[mm] z_{2}=1*e^{j108^{o}}
[/mm]
[mm] z_{3}=1*e^{j180^{o}}
[/mm]
[mm] z_{4}=1*e^{j252^{o}}
[/mm]
[mm] z_{5}=1*e^{j324^{o}}.
[/mm]
Allerdings komme ich damit zu einem anderen Ergebnis.
Ist der Ansatz richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Der Ansatz ist schon richtig ... und nun die enstsprechenden Werte in Koordinatenform berechnen. Was erhältst Du dann?
Gruß
Loddar
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Verrechnet. Komme doch auf das selbe Ergebnis!!!!!!!!!!!!
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