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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und p [mm] \in \IR[x] [/mm] ein Polynom vom Grad n. Sei [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] p(z_0)=0. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] p(z_{0}^{-})=0 [/mm] gilt. (mit [mm] {z_0}^- [/mm] ist die konjugiert komplexe Zahl von [mm] z_0 [/mm] gemeint)
Benutzen Sie dies und den Fundamentalsatz der Algebra um zu zeigen, dass es m [mm] \in \IN [/mm] und Polynome [mm] q_1, q_2, [/mm] ..., [mm] q_m \in \IR[x] [/mm] gibt, die alle den Grad 1 oder 2 haben, so dass p(x) = [mm] \produkt_{k=1}^{m}q_k(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo.
Ich habe einige Problem mit dieser Aufgabe.
Ich habe also ein reelles Polynom p gegeben und weiß, dass [mm] p(z_0) [/mm] = 0 ist für [mm] z_0 \in \IC [/mm] gilt. Wie kann ich damit aber jetzt auf [mm] p(z_{0}^{-}) [/mm] schließen.
Logischer Weise gilt ja das aufgestellte, aber ich habe überhaupt keine Idee, wie man das formal beweisen kann.
Ich tippe intuitiv auf vollständige Induktion, aber irgendwie habe ich dafür auch keinen Ansatz.
Über einige Tipps würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Der Ansatz hierzu ist, dass man Polynome in Linearfaktoren zerlegen kann, und zwar k Stück, wenn es k reelle Nullstellen gibt. daraus folgen dann n-k komplexe Nullstellen, wobei für 2 Nullstellen ein quadratischer Faktor übrig bleibt. Also folgendermaßen
[mm] p(z)=\produkt_{i=1}^{k}(z-z_i)\produkt_{i=1}^{(n-k)/2}(z^2+p_i*z+q_i)
[/mm]
In dem erstem Produkt stehen jetzt die reellen Nullstellen, im 2. die komplexen.
Du musst dir im klaren sein, dass [mm] p_i [/mm] und [mm] q_i [/mm] reell sind.
Jetzt kannst du für die quadratischen Faktoren die Lösungsformel anwenden. Sei [mm] p=p_1 [/mm] und [mm] q=q_1
[/mm]
[mm] z_{k+1,k+2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}
[/mm]
Dabei sei [mm] \bruch{p^2}{4}-q<0, [/mm] da sonst [mm] z_{k+1} [/mm] und [mm] z_{k+2} [/mm] reell wären.
Wenn du von einer negativen Zahl eine Quadratwurzel ziehst, kommt eine komplexe Zahl raus, die keinen Realteil besitzt. Das solltest du hier noch zeigen (wende dazu die Exponentialdarstellung komplexer Zahlen an). Definiere nun
[mm] a:=-\bruch{p}{2} [/mm] mit Im(b)=0 (klar, da p reell)
[mm] b:=\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}, [/mm] mit Re(b)=0.
Jetzt folgt [mm] z_{k,k+1}=a\pm [/mm] b, wobei
[mm] z_{k+1}=a+b [/mm] und [mm] z_{k+2}=a-b=\overline{z_{k+1}}.
[/mm]
Soweit verstanden?
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Sorry. Ich hab hier die Indizes ein bisschen durcheinander geworfen.
Die 2 komplexen Nullstellen sind [mm] z_{k+1} [/mm] und [mm] z_{k+2}.
[/mm]
Die Laufindizes des 2. Produktes sind auch nicht ganz exakt.
Ich denke man versteht trotzdem was gemeint ist.
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Hallo.
Danke für die rasche Antwort. Wenn ich das alles so lese, klingt es weitestgehend logisch, aber ich würde darauf nie kommen...
Ich würde aber, bevor ich mit der Hauptaufgabe befasse, erstmal die erste Teilaufgabe machen bzw. verstehen.
Sei [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] p(z_0) [/mm] = 0. Warum gilt dann [mm] p(z_{0}^{-}) [/mm] = 0? Wieso kann ich eine Aussage darüber machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Das [mm] z_0 [/mm] ist ja in meinem Beweis das [mm] z_{k+1} [/mm] und das ist eine Nullstelle. [mm] z_{k+2} [/mm] ist gerade [mm] \overline{z_{k+1}} [/mm] und das ist auch eine Nullstelle.
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Hmmmh.
Dann habe ich das wohl doch noch nicht so richtig verstanden. Könntest du dann in deinem ursprungspost doch noch einmal die Idizenz korrigieren, vielleicht wird es mir dann klarer...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hab alles abgeändert.
Nochmal zusammengefasst:
es gibt k reelle Nullstellen [mm] z_1,...z_k
[/mm]
Dann gibt es noch n-k komplexe Nullstellen [mm] z_{k+1},...,z_n
[/mm]
hier sei [mm] z_0=z_{k+1} [/mm] in deinem Beispiel.
Mit dieser Lösungsformelgibt es eine Darstellung
[mm] \underbrace{-p/2}_{=Re(z_0)}+\underbrace{\wurzel{p/4-q}}_{=Im(z_0)}.
[/mm]
Dass der erste Teil reell ist ist klar. Das der 2. keinen Realteil hat musst du zeigen. laut lösungsformel ist aber auch
[mm] \underbrace{-p/2}_{=Re(z_0)}\underbrace{-\wurzel{p/4-q}}_{=-Im(z_0)}
[/mm]
eine Lösung des Polynoms.
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Super.
Vielen Dank dafür. Jetzt ist mir das soweit eigentlich auch klar. Ich werde das jetzt morgen noch einmal in meinen eigenen Worten niederschreiben, aber das sollte jetzt nicht mehr ein allzu großen Problem sein.
Mein einziges Problem ist nun die Sache mit der Hauptaufgabe dieser Aufgabe... Anschaulich ist es ja klar, dass ich beim Bilden des Produktes von Polynomen jedes beliebige Polynom darstellen kann, aber wie beweise ich das nun formal.
Stichwort: vollständige Induktion?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich glaube bei dem 2. Teil der Aufgabe bekommen wir ein Problem.
Wir haben ja die Aussage des 2. Teils genutzt um den 1. Teil zu beweisen.
Darum war das womöglich der falsche Ansatz.
Jetzt bin ich echt überfragt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 10.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du brauchst keine Induktion, wir haben ja nur endlich viele Linearfaktoren. Sortiere diese in reelle und komplexe.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mo 10.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit [mm]p(z_0)[/mm] = 0. Warum gilt dann
> [mm]p(\overline{z_{0}})[/mm] = 0? Wieso kann ich eine Aussage darüber
> machen?
Das folgt sofort aus der Definition des Polynoms:
[mm] p(z_0) = \summe_{i=0}^{n} a_i z_0^i[/mm], mit reellen Koeffizienten [mm]a_i[/mm].
Da alle Koeffizienten reell sind, gilt [mm]\overline{p(z_0)} = p(\overline{z_{0}})[/mm].
Also treten alle nicht reellen Nullstellen als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf.
max3000 hat das Pferd von hinten aufgezäumt: Für den zweiten Teil der Aufgabe brauchst du nur diese Aussage und den Fundamentalsatz der Algebra: sortiere alle Linearfaktoren danach, ob sie reell sind oder nicht und fasse die Paare zueinander konjugiert komplexer Linearfaktoren zusammen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
Also den ersten Teil der Aufgabe habe ich nun verstanden und ist ja eigentlich soweit auch logisch, denn [mm] z_0 [/mm] * [mm] \overline{z_{0}} [/mm] = Re(z).
Okay. Das haben wir schon einmal.
Den anderen Teil der Aufgabe habe ich leider noch nicht verstanden. Es ist ja so, dass dort eigentlich gar keine komplexen Zahlen mehr auftauchen...
Ich weiß auch noch nicht, wie ich die sortieren soll...
Vielleicht könntest du mich noch mal auf den rechten Weg bringen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 10.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
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> Also den ersten Teil der Aufgabe habe ich nun verstanden
> und ist ja eigentlich soweit auch logisch, denn [mm]z_0[/mm] *
> [mm]\overline{z_{0}}[/mm] = Re(z).
Nein. [mm]z_0 * \overline{z_{0}} = |z_0|^2[/mm].
Du meinst: [mm]z_0 \red{+} \overline{z_{0}} = \red{2} \mathop{\mathrm{Re}} z[/mm].
> Okay. Das haben wir schon einmal.
> Den anderen Teil der Aufgabe habe ich leider noch nicht
> verstanden. Es ist ja so, dass dort eigentlich gar keine
> komplexen Zahlen mehr auftauchen...
Ja. Was ist [mm](z-z_0)*(z-\overline{z_0})[/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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Hi.
Seien z, [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit z = a +bi und [mm] z_0 [/mm] = c + di. Dann gilt:
(z - [mm] z_0)(z [/mm] - [mm] \overline{z_0})
[/mm]
= ((a + bi) - (c + di)) ((a + bi) - (c - di))
= ((a - c) + (b - d)i) ((a - c) - (b + d)i)
= ((a - [mm] c)^2 [/mm] - (b - d)(b + d)) + ((a - c)(b + d) + ((a - c)(b - d))i)
= [mm] a^2 [/mm] - 2ac + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] - 2ac - ab + ad + ((a - c)(b - d))i
= [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] - 2ac - ab + ad + (ab - ad - cb + cd)i
Aber wie hilft mir das nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Di 11.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Warum multiplizierst du nicht einfach mal aus?
[mm] (z - z_0)(z - \overline{z_0}) = z^2 - z*z_0 -z * \overline{z_0} + z_0 * \overline{z_0} = z^2 -2z*\mathop{\mathrm{Re}} z_0 + |z_0|^2 \in \IR[z][/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
So kann man sich natürlich viel Arbeit sparen ;)
Das Problem ist nun aber, wie mir dieses weiterhelfen soll. Wie kann ich jetzt auf diese [mm] q_1,q_2,...,q_m [/mm] schließen und das ich durch ein Produkt dieser qs Polynome beliebigen Grades erstellen kann...
Irgendwie steige ich da noch nicht so recht durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
>
> So kann man sich natürlich viel Arbeit sparen ;)
> Das Problem ist nun aber, wie mir dieses weiterhelfen
> soll. Wie kann ich jetzt auf diese [mm]q_1,q_2,...,q_m[/mm]
> schließen und das ich durch ein Produkt dieser qs Polynome
> beliebigen Grades erstellen kann...
Was sagt der Fundamentalsatz der Algebra für dein Polynom?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
Der Fundamentalsatz der Algebra sagt ja aus, dass ein Polynom vom Grad n [mm] \in \IN [/mm] genau n Nullstellen [mm] z_1,...,z_n \in \IC [/mm] besitzt. Außerdem zerfällt das Polynom in n Linearfaktoren.
Das ist ja vom Prinzip sehr ähnlich zu dieser Aufgabe, aber einen richtigen Zusammenhang kann ich noch nicht herstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
>
> Der Fundamentalsatz der Algebra sagt ja aus, dass ein
> Polynom vom Grad n [mm]\in \IN[/mm] genau n Nullstellen [mm]z_1,...,z_n \in \IC[/mm]
> besitzt. Außerdem zerfällt das Polynom in n
> Linearfaktoren.
Du hast außerdem in Teil a deiner Aufgabe festgestellt, dass die nichtreellen Nullstellen in Paaren zueinander konjugiert komplexer Zahlen auftreten. Außerdem weisst du jetzt, was das Produkt der Linearfaktoren zweier zueinander konjugiert komplexer Nullstellen ist.
Sortiere die Linearfaktoren deines Polynoms nach reell/nichtreell und fasse zusammen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
Ich stehe noch ein wenig auf dem Schlauch, wie kann ich denn die Nullstellen nun nach reellen und komplexen Nullstellen umsortieren.
Ich weiß doch gar nicht wie die Aussehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
>
> Ich stehe noch ein wenig auf dem Schlauch, wie kann ich
> denn die Nullstellen nun nach reellen und komplexen
> Nullstellen umsortieren.
>
> Ich weiß doch gar nicht wie die Aussehen...
Wozu musst du das wissen? Das Polynom p(x) hat Grad n. Angenommen, es habe m reelle Nullstellen ([mm]0\le m\le n[/mm]) und (n-m) komplexe Nullstellen. Aus Teil a der Aufgabe folgt insbesondere, dass (n-m) gerade ist. Sei [mm]l=\bruch{n-m}{2}[/mm]. Dann sortiere die Linearfaktoren so um, dass [mm]x_{n-m+1},\dots,x_n[/mm] die reellen Nullstellen sind, und die zueinander konjugiert komplexen Nullstellen jeweils [mm]x_{2k-1},x_{2k}[/mm] mit [mm]x_{2k}=\overline{x_{2k-1}}[/mm] für [mm]k=1,\dots,l[/mm].
[mm] p(x) = \produkt_{i=1}^{n} (x - x_i) = \produkt_{k=1}^{l} (x - x_{2k-1})(x-x_{2k}) * \produkt_{i=n-m+1}^n (x-x_i)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Okay.
Jetzt habe ich also eine Darstellung für mein Polynom p(z) durch seine Nullstellen. Ich habe also das Polynom p(z) als Linearfaktoren dargestellt.
Aber wie kann ich jetzt auf die [mm] q_1,q_2,...,q_m [/mm] mit [mm] m\in\IN [/mm] schließen? Setze vielleicht [mm] q_1 [/mm] = (z - 1. Nullstelle), [mm] q_2 [/mm] = (z - 2. Nullstelle), ...
Dann kann ich ja nur m Nullstellen abdecken, das reicht, weil ich ja nur die rellen Betrachten muss, oder?
Aber sind die [mm] q_1,...,q_m [/mm] dann vom Grad 1 oder 2?
Viele Grüße und vielen Dank für deine Geduld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay.
>
> Jetzt habe ich also eine Darstellung für mein Polynom p(z)
> durch seine Nullstellen. Ich habe also das Polynom p(z) als
> Linearfaktoren dargestellt.
>
> Aber wie kann ich jetzt auf die [mm]q_1,q_2,...,q_m[/mm] mit [mm]m\in\IN[/mm]
> schließen? Setze vielleicht [mm]q_1[/mm] = (z - 1. Nullstelle), [mm]q_2[/mm]
> = (z - 2. Nullstelle), ...
> Dann kann ich ja nur m Nullstellen abdecken, das reicht,
> weil ich ja nur die rellen Betrachten muss, oder?
>
> Aber sind die [mm]q_1,...,q_m[/mm] dann vom Grad 1 oder 2?
Ich habe es dir doch hingeschrieben: das erste Produkt geht über Polynome 2. Grades mit reellen Koeffizienten, das zweite über lineare Polynomemit reellen Koeffizienten.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo.
Dann ist das also schon bereits der komplette Beweis, oder wie sehe ich das?
Was ist denn jetzt eigentlich noch zu zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
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