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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die beiden Polynome f = [mm] X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 1 und g = [mm] X^6 [/mm] +
[mm] X^5 [/mm] + [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1 aus R[X] teilerfremd sind, d.h. ggT(f, g) = 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Forumgemeinschaft,
Ich habe folgendes Problem. Die Aufgabe ist eigentlich absolut nicht schwer wie ich finde, jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Ich soll ja zeigen das der ggT(f,g) = 1 ist.
Daraus folgt ja im Grunde genommen der euklidische Algorithmus. Und somit muss ich das mit Polynomdivision machen.
Ich habe das jetzt 3 mal ausgerechnet und komme immer wieder drauf, das der ggt nicht 1 ist.
Ich schreibe mal kurz meine Lösung auf:
[mm] X^6 [/mm] + [mm] X^5 [/mm] + [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1 = [mm] (x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 7x - 21) * [mm] (X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 1) + [mm] (66x^2 [/mm] - 7x + 22)
[mm] X^3 [/mm] + [mm] 3X^2 [/mm] + 1 = (1/66 x + 205/4356 ) * ( [mm] 66x^2 [/mm] - 7x + 22) + (-17/4356x - 7/198)
[mm] 66x^2 [/mm] - 7x + 22 = (-287496/17 x + 44792748/289) * (-17/4356x - 7/198) + 1589940/289
-17/4356x - 7/198 = (-4913/6925778640 x - 2023/314808220) * (1589940/289) + 0
Und damit wäre der ggT(f,g) nicht 1 sondern 1589940/289 und das ist ja falsch....
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir sagen wo mein Fehler liegt?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei Polynomen ist der ggT 1 wenn der ggT ein Polynom 0ten Grades, also ne Konstante ist. Die "1" im Polynomraum ist das konst. Polynom. (deine Rechng hab ich nicht ueberprueft)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Soll das jetzt heißen, egal was dabei herauskommt, also für die Konstante wie in meinem Fall 1589940/289, ist der ggT = 1?
Das heißt ich könnte auch 90 herausbekommen oder ähnliches und es wäre 1? |
Danke erstmal Leduart für deine Antwort.
Aber verstehen tu ich sie leider nicht so recht, außer wenn das richtig ist, was ich eben in den Aufgabenstellungskasten geschrieben habe.
Danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mi 13.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aber verstehen tu ich sie leider nicht so recht, außer
> wenn das richtig ist, was ich eben in den
> Aufgabenstellungskasten geschrieben habe.
Ein ggT ist nicht eindeutig, sondern nur bis auf Assoziiertheit eindeutig. Das heisst, sind g und h ein ggT von von zwei Elementen, dann gibt es eine Einheit r mit [m]g=r*h[/m]. In [m]\IR[x][/m] sind alle Polynome vom Grad 0, die ungleich 0 sind, Einheiten. In Polynomringen fordert man meist noch, dass der Leitkoeffizient, also das Element ungleich 0 mit höchsten Grad eines Elements, gleich 1 ist - dh man muss noch durch eine Einheit teilen.
SEcki
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