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Polynome: könnt ihr mir bei dieser Augab
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt ihr mir da helfen?
Aufgabe
Sei n Element aus [mm] \IN [/mm] und [mm] a_0, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] gegebene Zahlen. Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1* [/mm] x + [mm] ...+a_n [/mm] * [mm] x^n [/mm]  nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus [mm] \IR [/mm] ) .

Zeigen sie:
1.  zu k Element aus [mm] \IN [/mm] gibt es ein Polynom [mm] Q_k [/mm] sodass:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) [mm] Q_k [/mm] (x)
2. Ist P(a)= 0 für eine bestimmte Zahl a, dann gibt es ein Polynom Q, sodass gilt:
P(x)= (x-a) [mm] Q_k [/mm] (x) für alle Elemente aus x





bitte helft mir weiter.
mfG
Robin

        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt
> ihr mir da helfen?
> Sei n Element aus [mm]\IN[/mm] und [mm]a_0,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] gegebene Zahlen.
> Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*[/mm] x + [mm]a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm]

Hallo,

hast Du hier nicht etwas etwas verkürzt wiedergegeben? (Antwort: ja.)

> nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus
> [mm]\IR[/mm] ) .


> Zeigen sie:
> 1. zu k Element aus [mm]\IN[/mm] gibt es ein Polynom [mm]Q_k[/mm] sodass:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) [mm]Q_k[/mm] (x)

Tip

[mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a) [/mm]
[mm] x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)   \quad [/mm] nachrechnen nicht vergessen.

[mm] x^4-a^4= ...\quad, [/mm] wenn Du's nicht weißt, mach 'ne Polynomdivision.

Vielleicht kommst Du jetzt schon alleine weiter und kannst sagen, welches Polynom [mm] Q_k [/mm] Du für [mm] x^k-a^k [/mm] nehmen mußt.

LG Angela

> 2. Ist P(a)= 0 für eine bestimmte Zahl a, dann gibt es
> ein Polynom Q, sodass gilt:
> P(x)= (x-a) [mm]Q_k[/mm] (x) für alle Elemente aus x

>
>

> bitte helft mir weiter.
> mfG
> Robin


Bezug
                
Bezug
Polynome: lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

Also der eine Teil des Polynoms lautet aufjedenfall:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) * ( x^(k-1) + a^(k-1) + (k-2) ax )

Vorsicht: bei den (k-2) ax bin ich mir ziemlich unsicher. Was würde sonst da stehen? und stimmt der Rest?

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Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Also der eine Teil des Polynoms lautet aufjedenfall:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) * ( x^(k-1) + a^(k-1) + (k-2) ax )


Hallo,

ich weiß nicht, was Du mit "der eine Teil" meinst.

Ob Dein Polynom richtig ist, siehst Du durch Ausmultiplizieren.

LG Angela

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Bezug
Polynome: ausmultiplizieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

ich habe ausmultipliziert. und siehe da. es ist nicht richtig. Ich habe nun gelesen das man dies durch Polynomdivision bestimmen soll . Kannst du mir dies vielleicht an diesem Beispiel vorführen, da ich noch nie eine Polynomdivision in dieser Weise durchgeführt habe und diese Aufgabe ja als Übung dient

Bezug
                                        
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Polynome: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

kann mir keiner helfen?

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Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 04.11.2013
Autor: abakus


> ich habe ausmultipliziert. und siehe da. es ist nicht
> richtig. Ich habe nun gelesen das man dies durch
> Polynomdivision bestimmen soll . Kannst du mir dies
> vielleicht an diesem Beispiel vorführen, da ich noch nie
> eine Polynomdivision in dieser Weise durchgeführt habe und
> diese Aufgabe ja als Übung dient

Hallo,
könntest du mal bitte dein Profil aktualisieren?
Im Moment habe ich so meine Zweifel...
Gruß Abakus

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Bezug
Polynome: habe ich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

und nun?

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Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Tip

[mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a) [/mm]
[mm] x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)   \quad [/mm] nachrechnen durch Ausmultiplizieren nicht vergessen,

[mm] x^4-a^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)\quad [/mm] nachrechnen durch Ausmultiplizieren nicht vergessen.

Vielleicht kannst Du jetzt das System erkennen und mal hinschreiben, was Du für k=5,6,7,8 vermutest, verifiziere auch diese Ergebnisse durch Ausmultiplizieren.

Wenn Du danach keine Idee allgemein für k hast - dann weiß ich auch nicht.

Polynomdivision zu erklären hab' ich keine Lust, aber []dort wird es erklärt.

LG Angela

Bezug
                                                                
Bezug
Polynome: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

kannst du mir vielleicht noch das für k=5 nennen?
Ich komm ja schon so weit das:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) * (x^(k-1) + (a^(k1) + .....)
Aber was kommt dahin wie die Punkte sind?

Bezug
                                                                        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.


> kannst du mir vielleicht noch das für k=5 nennen?

Hallo,

natürlich kann ich das.
Ich muß noch überlegen, ob ich möchte...

Ich sag's mal ganz frank und frei:
wenn Du Dir nicht ganz schnell etwas Selbständigkeit, Ausdauer und Experimentierfreude zulegst, wird das nichts mit dem Mathestudium.
Stapelweise beschriebenes Schmierpapier mit Lösungsversuchen gehört auch dazu.

Was wurschtelst Du eigentlich mit schon mit k rum, wenn Du es für 5 noch nicht gebacken bekommst?
Meinst Du, mit allgemeinem k ist's einfacher.

> Ich komm ja schon so weit das:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) * (x^(k-1) + (a^(k1) + .....)
> Aber was kommt dahin wie die Punkte sind?

Tja. Ich bin ja nicht die Kellnerin mit Serviertablett und Schürzchen...

Achso:
[mm] x^5-a^5=(x-a)(x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4) [/mm]

Ausmultiplizieren nicht vergessen - vielleicht binde ich Dir ja einen Bären auf.

LG Angela

Bezug
                                                                                
Bezug
Polynome: Prinzip
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

ja. das Prinzip hab ich jetzt raus. Für k=6 lautet dann der Term:
[mm] x^5 [/mm] + [mm] ax^4 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] a^3 [/mm] * x² + [mm] a^4 [/mm] * x + [mm] a^5 [/mm]

hab ich durch ausmultiplizieren kontrolliert. Ich könnte jetzt auch noch den für 7 und 8 nennen. Allerdings ist mir unklar wie ich das verallgemeinern soll da die Terme ja pro K+1 steigen

Bezug
                                                                                        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.


> ja. das Prinzip hab ich jetzt raus. Für k=6 lautet dann
> der Term:
> [mm]x^5[/mm] + [mm]ax^4[/mm] + [mm]a^2[/mm] * [mm]x^3[/mm] + [mm]a^3[/mm] * x² + [mm]a^4[/mm] * x + [mm]a^5[/mm]

>

> hab ich durch ausmultiplizieren kontrolliert. Ich könnte
> jetzt auch noch den für 7 und 8 nennen.

Hallo,

gut.

>Allerdings ist mir

> unklar wie ich das verallgemeinern soll da die Terme ja pro
> K+1 steigen

??? Ich verstehe Dich nicht.

[mm] x^k-a^k=(x-a)*(x^{k-1}+a^{...}x^{k-2}+a^{...}x^{k-3}+...+a^{k-3}*x^{...}+a^{k-2}*x^{...}+a^{k-1}) [/mm]

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Mo 04.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt
> ihr mir da helfen?
> Sei n Element aus [mm]\IN[/mm] und [mm]a_0,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] gegebene Zahlen.
> Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*[/mm] x + [mm]a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
> nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus
> [mm]\IR[/mm] ) .

Hallo,

solange Du nicht die richtige Definition hinschreibst, ist alles vergebens.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Polynome: getan
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Mo 04.11.2013
Autor: Robin1990

habe ich. meinst du das? kannst du mir nun helfen

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