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Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt ihr mir da helfen?
| Aufgabe | Sei n Element aus [mm] \IN [/mm] und [mm] a_0, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] gegebene Zahlen. Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1* [/mm] x + [mm] ...+a_n [/mm] * [mm] x^n [/mm] nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus [mm] \IR [/mm] ) .
Zeigen sie:
1. zu k Element aus [mm] \IN [/mm] gibt es ein Polynom [mm] Q_k [/mm] sodass:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) [mm] Q_k [/mm] (x)
2. Ist P(a)= 0 für eine bestimmte Zahl a, dann gibt es ein Polynom Q, sodass gilt:
P(x)= (x-a) [mm] Q_k [/mm] (x) für alle Elemente aus x |
bitte helft mir weiter.
mfG
Robin
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> Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt
> ihr mir da helfen?
> Sei n Element aus [mm]\IN[/mm] und [mm]a_0,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] gegebene Zahlen.
> Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*[/mm] x + [mm]a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
Hallo,
hast Du hier nicht etwas etwas verkürzt wiedergegeben? (Antwort: ja.)
> nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus
> [mm]\IR[/mm] ) .
> Zeigen sie:
> 1. zu k Element aus [mm]\IN[/mm] gibt es ein Polynom [mm]Q_k[/mm] sodass:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) [mm]Q_k[/mm] (x)
Tip
[mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a)
[/mm]
[mm] x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2) \quad [/mm] nachrechnen nicht vergessen.
[mm] x^4-a^4= ...\quad, [/mm] wenn Du's nicht weißt, mach 'ne Polynomdivision.
Vielleicht kommst Du jetzt schon alleine weiter und kannst sagen, welches Polynom [mm] Q_k [/mm] Du für [mm] x^k-a^k [/mm] nehmen mußt.
LG Angela
> 2. Ist P(a)= 0 für eine bestimmte Zahl a, dann gibt es
> ein Polynom Q, sodass gilt:
> P(x)= (x-a) [mm]Q_k[/mm] (x) für alle Elemente aus x
>
>
> bitte helft mir weiter.
> mfG
> Robin
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Also der eine Teil des Polynoms lautet aufjedenfall:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) * ( x^(k-1) + a^(k-1) + (k-2) ax )
Vorsicht: bei den (k-2) ax bin ich mir ziemlich unsicher. Was würde sonst da stehen? und stimmt der Rest?
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> Also der eine Teil des Polynoms lautet aufjedenfall:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) * ( x^(k-1) + a^(k-1) + (k-2) ax )
Hallo,
ich weiß nicht, was Du mit "der eine Teil" meinst.
Ob Dein Polynom richtig ist, siehst Du durch Ausmultiplizieren.
LG Angela
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ich habe ausmultipliziert. und siehe da. es ist nicht richtig. Ich habe nun gelesen das man dies durch Polynomdivision bestimmen soll . Kannst du mir dies vielleicht an diesem Beispiel vorführen, da ich noch nie eine Polynomdivision in dieser Weise durchgeführt habe und diese Aufgabe ja als Übung dient
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Robin1990 |
kann mir keiner helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 04.11.2013 | | Autor: | abakus |
> ich habe ausmultipliziert. und siehe da. es ist nicht
> richtig. Ich habe nun gelesen das man dies durch
> Polynomdivision bestimmen soll . Kannst du mir dies
> vielleicht an diesem Beispiel vorführen, da ich noch nie
> eine Polynomdivision in dieser Weise durchgeführt habe und
> diese Aufgabe ja als Übung dient
Hallo,
könntest du mal bitte dein Profil aktualisieren?
Im Moment habe ich so meine Zweifel...
Gruß Abakus
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Hallo,
Tip
[mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a)
[/mm]
[mm] x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2) \quad [/mm] nachrechnen durch Ausmultiplizieren nicht vergessen,
[mm] x^4-a^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)\quad [/mm] nachrechnen durch Ausmultiplizieren nicht vergessen.
Vielleicht kannst Du jetzt das System erkennen und mal hinschreiben, was Du für k=5,6,7,8 vermutest, verifiziere auch diese Ergebnisse durch Ausmultiplizieren.
Wenn Du danach keine Idee allgemein für k hast - dann weiß ich auch nicht.
Polynomdivision zu erklären hab' ich keine Lust, aber ![[]](/images/popup.gif) dort wird es erklärt.
LG Angela
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kannst du mir vielleicht noch das für k=5 nennen?
Ich komm ja schon so weit das:
[mm] x^k [/mm] - [mm] a^k [/mm] = (x-a) * (x^(k-1) + (a^(k1) + .....)
Aber was kommt dahin wie die Punkte sind?
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> kannst du mir vielleicht noch das für k=5 nennen?
Hallo,
natürlich kann ich das.
Ich muß noch überlegen, ob ich möchte...
Ich sag's mal ganz frank und frei:
wenn Du Dir nicht ganz schnell etwas Selbständigkeit, Ausdauer und Experimentierfreude zulegst, wird das nichts mit dem Mathestudium.
Stapelweise beschriebenes Schmierpapier mit Lösungsversuchen gehört auch dazu.
Was wurschtelst Du eigentlich mit schon mit k rum, wenn Du es für 5 noch nicht gebacken bekommst?
Meinst Du, mit allgemeinem k ist's einfacher.
> Ich komm ja schon so weit das:
> [mm]x^k[/mm] - [mm]a^k[/mm] = (x-a) * (x^(k-1) + (a^(k1) + .....)
> Aber was kommt dahin wie die Punkte sind?
Tja. Ich bin ja nicht die Kellnerin mit Serviertablett und Schürzchen...
Achso:
[mm] x^5-a^5=(x-a)(x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4)
[/mm]
Ausmultiplizieren nicht vergessen - vielleicht binde ich Dir ja einen Bären auf.
LG Angela
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ja. das Prinzip hab ich jetzt raus. Für k=6 lautet dann der Term:
[mm] x^5 [/mm] + [mm] ax^4 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] a^3 [/mm] * x² + [mm] a^4 [/mm] * x + [mm] a^5
[/mm]
hab ich durch ausmultiplizieren kontrolliert. Ich könnte jetzt auch noch den für 7 und 8 nennen. Allerdings ist mir unklar wie ich das verallgemeinern soll da die Terme ja pro K+1 steigen
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> ja. das Prinzip hab ich jetzt raus. Für k=6 lautet dann
> der Term:
> [mm]x^5[/mm] + [mm]ax^4[/mm] + [mm]a^2[/mm] * [mm]x^3[/mm] + [mm]a^3[/mm] * x² + [mm]a^4[/mm] * x + [mm]a^5[/mm]
>
> hab ich durch ausmultiplizieren kontrolliert. Ich könnte
> jetzt auch noch den für 7 und 8 nennen.
Hallo,
gut.
>Allerdings ist mir
> unklar wie ich das verallgemeinern soll da die Terme ja pro
> K+1 steigen
??? Ich verstehe Dich nicht.
[mm] x^k-a^k=(x-a)*(x^{k-1}+a^{...}x^{k-2}+a^{...}x^{k-3}+...+a^{k-3}*x^{...}+a^{k-2}*x^{...}+a^{k-1})
[/mm]
LG Angela
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> Ich rätsel schon seit gestern an dieser Aufgabe, könnt
> ihr mir da helfen?
> Sei n Element aus [mm]\IN[/mm] und [mm]a_0,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] gegebene Zahlen.
> Diese Funktion der Form: x->P(x):= [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*[/mm] x + [mm]a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
> nennt man Polynom vom Grad n ( x ist hier ein Element aus
> [mm]\IR[/mm] ) .
Hallo,
solange Du nicht die richtige Definition hinschreibst, ist alles vergebens.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Robin1990 |
habe ich. meinst du das? kannst du mir nun helfen
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