Polynome - Reduktion modulo p < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Es sei $f(X) [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] so gegeben, dass
[mm] f(X) \equiv X^4+X^3+X^2+X+1[/mm] mod [mm]
2 [/mm]
[mm]f(X) \equiv X^4+X^2+X+2[/mm] mod [mm]
3 [/mm]
[mm]f(X) \equiv X^4+2X^3+X^2+3X+2[/mm] mod [mm] 5 [/mm]
gilt.
a) Sind die Polynome der rechten Seite aus [mm] $\IF_{p}[X]$ [/mm] für $p [mm] \in \{2, 3, 5\}$ [/mm] irreduzibel?
b) Wie sieht $f(X) [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] allgemein aus? Modulo welchem Ideal ist es eindeutig festlegbar? |
Hallo,
ich habe ein Problem besonders beim zweiten Teil der Aufgabe.
Teil a habe ich soweit denke ich gelöst.
Allerdings würde mich interessieren, ob es auch eine einfachere, elegantere Lösung gibt:
1. [mm] X^4+X^3+X^2+X+1
[/mm]
Angenommen es gibt $g,h [mm] \in \IF_{2}[X]: gh=X^4+X^3+X^2+X+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $deg(g)+deg(h) = 4$
Fall a: $deg(g)=deg(h)=2$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm] $a_1, a_2, b_1, b_2 \in \IF_{2}: [/mm] g = [mm] X^2+a_{1}X+a_{2}, [/mm] h = [mm] X^2+b_{1}X+b_{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] gh = [mm] X^4+(a_{1}+b_{1})X^3+(a_2+a_1b_1+b_2)X^2+(a_2b_1+a_1b_2)X+a_2b_2$
[/mm]
Nun führt man einen Koeffizientenvergleich aus und so ergibt sich ein Widerspruch.
Fall b: o.B.d.A. $deg(g)=3$, $deg(h)=1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm] $a_1, a_2, a_3, b_1 \in \IF_{2}: [/mm] g = [mm] X^3+a_{1}X^2+a_{2}X+a_{3}, [/mm] h = [mm] X+b_{1}$
[/mm]
Nun multipliziert man wieder aus und führt das Ergebnis mit Koeffizientenvergleich zu einem Widerspruch.
Fall c: o.B.d.A. $deg(g)=4$, $deg(h)=0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h$ ist bereits eine Einheit.
Also ist [mm] X^4+X^3+X^2+X+1 [/mm] irreduzibel in [mm] $\IF_2[x]$
[/mm]
Ist das so richtig (vom Prinzip) und geht es auch kürzer?
Für die anderen beiden Polynome bin ich nach dem gleichen Prinzip vorgegangen, habe allerdings gefunden:
[mm]X^4+X^2+X+2 = (X^3+2X^2+2X+2)(X+1) \in \IF_3[X][/mm]
[mm]X^4+2X^3+X^2+3X+2 = (X^3+X+1)(X+2) \in \IF_5[X]$[/mm]
Also sind beide reduzible Polynome, da die beiden rechts stehenden Polynome in beiden Fällen keine Einheiten sind.
Nun zu Aufgabenteil b:
Ich nehme an, dass einem hier Aufgabenteil a weiterhelfen soll.
Dort betrachten wir ja Reduktionen modulo 2,3 und 5, d.h. die Abbildung
[mm]\phi_{p}:\IZ[X] \to \IZ/(p)[X] [/mm] für $p [mm] \in \{2,3,5\}$, [/mm] die die Koeffizienten reduziert.
Es ist klar, dass das Polynom höhere Potenzen von $X$ enthalten kann, solange deren Vorfaktoren Vielfache von 30 sind, sodass sie bei der Reduktion in allen drei Fällen verschwinden.
Außerdem weiß ich noch, dass das gesuchte Ideal, modulo dem $f(X)$ eindeutig festgelegt ist, ein Hauptideal ist.
Nun finde ich keine Ansatz wie ich von hier weiter komme. Kann mir jemand weiter helfen?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]f(X) \in \IZ[X][/mm] so gegeben, dass
> [mm]f(X) \equiv X^4+X^3+X^2+X+1[/mm] mod [mm]
2[/mm]
> [mm]f(X) \equiv X^4+X^2+X+2[/mm] mod [mm]
3[/mm]
> [mm]f(X) \equiv X^4+2X^3+X^2+3X+2[/mm] mod [mm]5[/mm]
> gilt.
> a) Sind die Polynome der rechten Seite aus [mm]\IF_{p}[X][/mm] für
> [mm]p \in \{2, 3, 5\}[/mm] irreduzibel?
> b) Wie sieht [mm]f(X) \in \IZ[X][/mm] allgemein aus? Modulo welchem
> Ideal ist es eindeutig festlegbar?
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem besonders beim zweiten Teil der
> Aufgabe.
> Teil a habe ich soweit denke ich gelöst.
> Allerdings würde mich interessieren, ob es auch eine
> einfachere, elegantere Lösung gibt:
>
>
> 1. [mm]X^4+X^3+X^2+X+1[/mm]
> Angenommen es gibt [mm]g,h \in \IF_{2}[X]: gh=X^4+X^3+X^2+X+1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]deg(g)+deg(h) = 4[/mm]
>
> Fall a: [mm]deg(g)=deg(h)=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a_1, a_2, b_1, b_2 \in \IF_{2}: g = X^2+a_{1}X+a_{2}, h = X^2+b_{1}X+b_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow gh = X^4+(a_{1}+b_{1})X^3+(a_2+a_1b_1+b_2)X^2+(a_2b_1+a_1b_2)X+a_2b_2[/mm]
>
> Nun führt man einen Koeffizientenvergleich aus und so
> ergibt sich ein Widerspruch.
>
> Fall b: o.B.d.A. [mm]deg(g)=3[/mm], [mm]deg(h)=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a_1, a_2, a_3, b_1 \in \IF_{2}: g = X^3+a_{1}X^2+a_{2}X+a_{3}, h = X+b_{1}[/mm]
>
> Nun multipliziert man wieder aus und führt das Ergebnis
> mit Koeffizientenvergleich zu einem Widerspruch.
>
> Fall c: o.B.d.A. [mm]deg(g)=4[/mm], [mm]deg(h)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]h[/mm] ist bereits eine Einheit.
>
> Also ist [mm]X^4+X^3+X^2+X+1[/mm] irreduzibel in [mm]\IF_2[x][/mm]
>
> Ist das so richtig (vom Prinzip) und geht es auch kürzer?
Klar geht es kuerzer: es hat offenbar keine Nullstellen, womit es hoechstens irreduzible Teiler von Grad 2 haben kann, wenn es reduzibel ist. Es gibt jedoch bis auf konstante Vielfache nur ein irreduzibles Polynom von Grad 2 ueber [mm] $\IF_2$, [/mm] naemlich [mm] $X^2 [/mm] + X + 1$, womit das Polynom dann gleich [mm] $(X^2 [/mm] + X + [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1$ sein muesste (beachte, dass $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] ein Homomorphismus ist, da die Charakteristik 2 ist). Das ist aber nicht der Fall. Also ist das Polynom irreduzibel.
> Für die anderen beiden Polynome bin ich nach dem gleichen
> Prinzip vorgegangen, habe allerdings gefunden:
> [mm]X^4+X^2+X+2 = (X^3+2X^2+2X+2)(X+1) \in \IF_3[X][/mm]
Man sieht sofort, dass $X = 2$ eine Nullstelle ist. Also nicht irreduzibel.
> [mm]X^4+2X^3+X^2+3X+2 = (X^3+X+1)(X+2) \in \IF_5[X]$[/mm]
Hier findet man auch sofort eine Nullstelle.
> Also sind
> beide reduzible Polynome, da die beiden rechts stehenden
> Polynome in beiden Fällen keine Einheiten sind.
Ja.
> Nun zu Aufgabenteil b:
> Ich nehme an, dass einem hier Aufgabenteil a weiterhelfen
> soll.
Nein. Der Teil bringt hier gar nichts.
Du kannst doch einfach den Chinesischen Restsatz benutzen, um alle Koeffizienten von $f$ modulo 30 zu bestimmen.
> Dort betrachten wir ja Reduktionen modulo 2,3 und 5, d.h.
> die Abbildung
> [mm]\phi_{p}:\IZ[X] \to \IZ/(p)[X][/mm] für [mm]p \in \{2,3,5\}[/mm], die
> die Koeffizienten reduziert.
> Es ist klar, dass das Polynom höhere Potenzen von [mm]X[/mm]
> enthalten kann, solange deren Vorfaktoren Vielfache von 30
> sind, sodass sie bei der Reduktion in allen drei Fällen
> verschwinden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Außerdem weiß ich noch, dass das gesuchte Ideal, modulo
> dem [mm]f(X)[/mm] eindeutig festgelegt ist, ein Hauptideal ist.
> Nun finde ich keine Ansatz wie ich von hier weiter komme.
> Kann mir jemand weiter helfen?
Eine Frage an dich: koennte es zufaellig das Ideal sein, das von 30 erzeugt wird?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für die Hilfe.
Da hätte ich mir die Aufgabe mit ein bisschen überlegen deutlich einfacher machen können.
Viele Grüße, Lippel
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